Сучасні проблеми моделювання

ГЕОМЕТРИЧНИЙ МЕТОД ПОБУДОВИ БАЗИСУ ДИСКРЕТНОГО ЕЛЕМЕНТА Н32

2025-07-17T07:14:49+00:00

У роботі розглядаються серендипові скінченні елементи (ССЕ), які виникли наприкінці 60-х років минулого сторіччя як винахідлива модифікація лагранжевих дво- і тривимірних елементів шляхом вилучення внутрішніх вузлів інтерполяції. Наведені в літературі базисні функції серендипових СЕ називають стандартними. Ці функції добре справляються з задачею ізопараметричного відображення квадрата у довільний чотирикутник, однак інтерполяційні якості стандартних базисів не завжди бездоганні. Всі стандартні базиси серендипових скінченних елементів, крім білінійного, мають недоліки. Побудову базисних функцій ССЕ, крім традиційних методів матричного аналізу, можна здійснити за допомогою процедури Тейлора. На жаль, створені обома способами поліноми вищих порядків мають певні недоліки: надмірну кількість кратних нулів у вузлах інтерполяції (жорстка модель) та від’ємні значення у розподілі рівномірної масової сили по вузлах (неприродний розподіл). Актуальною проблемою серендипової інтерполяції є розробка методів конструювання альтернативних базисів вищих порядків, позбавлених цих недоліків. Існування таких базисів було доведено на початку 80-х років ХХ сторіччя. Специфіка серендипових моделей змушує відмовитись від процедури Тейлора, що спирається на традиції одновимірної інтерполяції за Лагранжем. Лише на елементах першого і другого порядків результати обох підходів співпадають. Складні проблеми ССЕ вищих порядків краще розв’язувати методами прикладної геометрії. На прикладі тривимірного скінченного елемента (32 вузла) аналізуються недоліки інтерполяційної процедури Тейлора. Запропоновано геометричний спосіб усунення недоліків класичного базису. Переваги геометричного конструювання ССЕ безперечні – з’являється можливість створення альтернативних базисів, позбавлених недоліків стандартних базисів. Більше того, вдале конструювання дозволяє оптимізувати базиси для отримання кращих інтерполяційних та обчислювальних якостей.

Ключові слова: серендипові скінченні елементи, інтерполяція, геометричне конструювання, процедури Тейлора, тривимірний скінченний елемент, альтернативний базис вищих порядків.

ЧИСЛОВЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ КІЛ СИЛОВИХ ВИПРЯМЛЯЧІВ ІЗ ВИКОРИСТАННЯМ МЕТОДУ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЗМІННИХ

2025-07-17T07:15:09+00:00

У статті наведено приклад чисельного моделювання конкретної топології силового випрямляча з навантаженням, що включає елементи з нелінійною вольт-амперною характеристикою. Схема охоплює реактивні компоненти (індуктивності, ємності), а також напівпровідникові пристрої, динаміка яких визначається не тільки характеристиками керування, але й внутрішніми електрофізичними властивостями. З метою спрощення математичного опису нелінійної моделі було застосовано метод перетворення змінних, який дозволяє звести диференціальні рівняння до вигляду, придатного для чисельного інтегрування з контрольованим рівнем похибки, що особливо актуально в умовах обмежених обчислювальних ресурсів.

Аналіз результатів моделювання дав змогу виявити характерні особливості електромагнітних процесів, які виникають у колі в режимах, близьких до резонансних або граничних. Було показано умови, за яких з’являються стаціонарні коливання, що супроводжуються ефектами гістерезису, магнітного насичення та коливальної нестійкості. Отримано фазові портрети та часові графіки, що демонструють перехід від регулярної роботи до автоколивального або хаотичного режиму залежно від параметрів схеми. Порівняння результатів до і після застосування перетворення змінних засвідчило зростання точності, покращення числової стійкості та зменшення витрат обчислювального часу.

Зазначений підхід підтвердив свою ефективність для аналізу складних нелінійних процесів у силових електронних колах. Його можна використовувати в проєктуванні адаптивних систем електроприводу, при моделюванні енергетичних перетворювачів, схем керування зворотним зв’язком, а також у навчальному процесі для демонстрації динаміки перехідних процесів в електротехнічних системах, де важливо розуміти поведінку нелінійних ланок. Такий метод має потенціал до подальшої адаптації в середовищах автоматизованого проєктування та цифрового моделювання енергетичних систем.

Ключові слова: числове моделювання, нелінійні електричні кола, силовий випрямляч, фазовий портрет, перетворення змінних, автоколивання.

ОДНОРОЗМІРНІ КОМПОЗИЦІЙНІ МАТРИЦІ ПАРАМЕТРИЧНІ

2025-07-17T07:15:29+00:00

У статті запропоновано системний опис однорозмірних композиційних матриць параметричних, які слугують формальним інструментом параметризації просторових дискретно заданих кривих ліній та подальшого створення неперервних композиційних ліній. Показано, що кожному елементу однорозмірної точкової композиційної матриці відповідає унікальна характеристична функція, яка разом з іншими функціями утворює функціональний базис точкового полінома, що безперервно інтерполює вихідні базисні точки.

Наведено загальні записи композиційних матриць параметричних для трьох параметричних напрямів та їх універсальне умовне позначення, що забезпечує інваріантність до вибору системи координат і дозволяє розширювати підхід на композиційні поверхні. Запропоновано алгоритм побудови характеристичних функцій для кожної базисної точки дискретної кривої і продемонстровано його роботу на прикладі кривої з чотирма точками, включно з окремими випадками збігу точок.

Наведено приклад утворення характеристичних функцій для базисних точок дискретно поданої кривої, який пояснює правила параметризації точок ДПК і, безпосередньо, утворення характеристичних функцій. Вказується, що сукупність характеристичних функцій для усіх базисних точок дискретно поданої кривої являє собою функціональні бази з точкового поліному, який неперервно інтерполює вихідні базисні точки ДПК. Надається у загальному вигляді запис цього точкового поліному.

Наводиться варіанти окремих випадків розташування вихідних базисних точок, зокрема тих що збігаються одна з одною. Наголошується на тому, що наявність окремих випадків розташування базисних точок вихідної ДПК, не потребує застосування інших алгоритмів утворення характеристичних функцій. Тобто і для одинарних, і для кратних точок характеристичні функції утворюються однаково.

Наголошується, що утворення сегментів композиційних поверхонь вимагає однакової кількості точок на ребрах за кожним із параметричних напрямів та обґрунтовується така необхідність.

Ключові слова. Композиційна лінія, композиційна поверхня, композиційна Матриця параметрична, характеристичні функції, точковий поліном, функціональний бази з точкового поліному.

СТАНДАРТИЗОВАНІ КАРТИ ПОМИЛОК ТА ЕНТРОПІЇ ЯК СПОСІБ ВІЗУАЛІЗАЦІЇ ОЦІНКИ ЯКОСТІ РОБОТИ МОДЕЛЕЙ ГЛИБОКОГО НАВЧАННЯ ДЛЯ ОБРОБКИ АЕРОФОТОЗНІМКІВ

2025-07-17T07:15:48+00:00

Роботу присвячено процесу дослідження та розробці власного підходу для створення стандартизованої карти помилок якості роботи моделей глибокого навчання та ентропії у випадках аналізу аерофотознімків, отриманих з дронів. За допомогою таких карт можливо зрозуміти на яких ділянках зображень моделі найчастіше помиляються на тестових даних та отримати відповідні невизначеності. Побудова таких карт допомагає виявити слабкі місця в моделях та особливо корисна для випадків, коли середні стандартні метрики майже однакові. Для проведення дослідження та експериментів було використано найпопулярніші архітектури нейронних мереж U-Net, DeepLabV3+ та Feature Pyramid Network, що найчастіше використовуються у задачах сегментації зображень у сфері комп’ютерного зору. Семантична сегментація відіграє ключову роль в аналізі просторорових даних у задачах моніторингу навколишнього середовища, картографування та управління земельними ресурсами. Висока точність популярних архітектур не виключає проблему аналізу помилок та невизначеностей. У роботі представлено підхід до побудови теплових карт помилок, які показують у яких місцях зображень моделі найбільш неправильно класифікують пікселі на тестових даних, а для оцінки невизначеностей пропонується будувати спеціальні карти ентропії. Окрім визначення кількісних показників якості роботи моделей (точності, індексу Жаккара, F-метрики) такі візуалізації дозволяють якісно аналізувати слабкі місця, наприклад, у випадках коли зображення мають неоднорідну місцевість або нечіткі контури. У ході проведення експериментів на власному наборі аерофотознімків було визначено, що ефективність запропонованих підходів до візуалізації може значно підвищити розуміння результатів роботи навчених моделей. Результати таких досліджень можуть мати значний вплив на покращення архітектур сегментації, підготовці навчальних даних та аналізу помилок в цілому. Майбутні дослідження можуть фокусуватися на розширенні набору даних аерофотознімків для оцінювання роботи моделей та зниження кількості помилок.Ключові слова: глибоке навчання, семантична сегментація, U-Net, DeepLabV3+, FPN, нейронні мережі, карти помилок, карти ентропії, спосіб візуалізації, дрони, аерофотознімки.

ВПЛИВ КОЕФІЦІЄНТІВ СУПЕРПОЗИЦІЇ НА ДИСКРЕТНЕ ФОРМУВАННЯ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІОНАЛЬНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ

2025-07-17T07:16:12+00:00

У статті представлено узагальнений підхід до дискретного моделювання одновимірних дискретних геометричних образів (ДГО) шаблонами, де управління формою дискретно представленої кривої (ДПК), що моделюється здійснюється не тільки функцією розподілу між суміжними вузами каркасу величини кінцевої різниці, а і функцією розподілу коефіцієнтів суперпозиції.

Встановлено закономірності зміни величин коефіцієнтів суперпозиції та величини кінцевої різниці, яка слугує функціональним аналогом навантаження у межах статико-геометричного методу під час моделювання одновимірних точкових множин. Такий підхід дозволяє ефективно розв’язувати задачі суцільної дискретної інтерполяції та екстраполяції числовими послідовностями для довільних одновимірних функціональних залежностей, що задаються через дві вибрані вузлові точки.

Однією з основних задач дослідження є продовження розробки теоретичних засад побудови дискретних аналогів криволінійних об’єктів на основі класичного апарату кінцевих різниць, статико-геометричного методу моделювання та геометричного інструментарію суперпозицій.

У рамках дослідження проаналізовано процес формування дискретних одновимірних геометричних образів на прикладі поліноміальних функціональних залежностей, використовуючи задані величини коефіцієнтів суперпозиції. Виявлено закономірності зміни коефіцієнтів суперпозиції між суміжними вузловими точками поліноміальної функції, а також величини кінцевої різниці, що ілюструються у вигляді графіків числових послідовностей для вибраної розрахункової конфігурації.

Встановлено залежності величини кінцевої різниці від ординат модельованої кривої, а також від значень коефіцієнтів суперпозиції між суміжними вузловими точками.

Отримані результати дозволяють формувати одновимірні геометричні образи у межах заданої розрахункової схеми на основі відомих ординат двох опорних вузлових точок, коефіцієнтів суперпозиції та відповідної кінцевої різниці.

Таким чином, дослідження пропонує універсальний підхід до визначення закономірностей варіації коефіцієнтів суперпозиції та кінцевих різниць у рамках заданих розрахункових схем, що дозволяє визначати ординати точок довільних одновимірних функціональних залежностей і точкових множин.

Ключові слова: дискретне моделювання, статико-геометричний метод, геометричний апарат суперпозицій, величина кінцевої різниці, коефіцієнти суперпозиції.

РОЗРАХУНОК РОЗПОДІЛУ ЕЛЕКТРИЧНОЇ ПОТУЖНОСТІ ТА ТЕМПЕРАТУРИ В ЕЛЕКТРИЧНОМУ ТЕПЛОАКУМУЛЮВАЛЬНОМУ ПЕРЕТВОРЮВАЧІ

2025-07-17T07:16:35+00:00

У дослідженні представлено розробку та впровадження тривимірної математичної моделі для розрахунку розподілу активної електричної потужності й температури в електричному теплоакумулювальному перетворювачі (ЕТП). Модель базується на методі вторинних джерел, що дає змогу точно моделювати електромагнітні процеси в неоднорідному середовищі зі складною геометрією та змінними матеріальними властивостями. Запропонований підхід особливо актуальний для автономних систем гарячого водопостачання, де критичним є підвищення енергоефективності, надійності та інтеграція відновлюваних джерел енергії.

Електричний теплоакумулювальний перетворювач накопичує теплову енергію у нічні (позапікові) години, коли тарифи на електроенергію є низькими, і віддає її у періоди пікового навантаження. Такий режим роботи суттєво знижує експлуатаційні витрати, підвищує енергетичну автономність і зменшує навантаження на електричні мережі. Компактна, надійна конструкція ЕТП, сумісна зі стандартними трифазними мережами, дозволяє легко інтегрувати його як у нові, так і в існуючі системи, зокрема сонячні теплові комплекси, міні-котельні та гібридні установки.

Чисельний метод реалізований шляхом дискретизації об’єму перетворювача на елементарні геометричні підобласті із припущенням лінійного розподілу температури в кожній з них. Інтегральні рівняння Фредгольма другого роду, отримані за допомогою методу вторинних джерел, розв’язано чисельно для моделювання електромагнітного поля та розрахунку миттєвої густини потужності. Результати підтвердили доцільність і точність запропонованої моделі для інженерних застосувань.

Отже, отримані висновки підтримують ефективність електричних теплоакумулювальних перетворювачів як енергоощадних компонентів децентралізованих систем теплопостачання та демонструють практичну цінність сучасних обчислювальних методів–особливо методу вторинних джерел–для аналізу й оптимізації таких систем.

Ключові слова: електричний теплоакумулювальний перетворювач, енергоефективність, метод вторинних джерел, системи гарячого водопостачання, моделювання електромагнітних полів, теплове акумулювання, чисельне моделювання.

ДОСЛІДЖЕННЯ АНАЛІТИЧНИХ КРИВИХ ПРИ ГЕОМЕТРИЧНОМУ МОДЕЛЮВАННІ ОБВОДІВ СНАРЯДІВ

2025-07-17T07:16:55+00:00

У статті представлено дослідження доцільності застосування дев’яти аналітичних кривих для геометричного моделювання носової частини балістичного снаряда з метою забезпечення високої аеродинамічної ефективності. Дослідження зосереджено на апроксимації огівального профілю (обтічний профіль носової частини), враховуючи фізичні вимоги, такі як початкова точка, кінцева висота, горизонтальна дотична та монотонність. Використовувалися криві різної природи: поліноміальні (поліном 3-го степеня, парабола), сигмоїдальні (логістична, гіперболічний тангенс) та нелінійні (еліптична дуга, степенева, логарифмічна, експоненціальна, крива Носека), що дозволило оцінити їхню здатність точно відтворювати профіль і відповідати аеродинамічним вимогам.

Методологія дослідження базується на числовій оптимізації з використанням семи методів: Nelder-Mead, Powell, CG, BFGS, L-BFGS-B, TNC та SLSQP. Для забезпечення фізичних обмежень застосовувалися штрафні функції та прямі обмеження (для SLSQP), що контролювали відповідність граничним умовам і монотонність. Штрафні функції враховували відхилення від заданих граничних точок, кут нахилу дотичної та невід’ємність похідної в ключових точках профілю. Оптимізація проводилася з урахуванням середньоквадратичної помилки (RMSE) між реперними точками профілю та модельними кривими. Для оцінки якості апроксимації аналізувалися відхилення в передній, середній і задній зонах профілю, а також аеродинамічна ефективність, що залежить від плавності профілю та відповідності горизонтальній дотичній.

Дослідження включало порівняння кривих за точністю підгонки, стійкістю до числових помилок і здатністю зберігати фізичну коректність. Особлива увага приділялася впливу штрафних функцій на збіжність методів оптимізації та їхній здатності компенсувати обмеження методів без прямих обмежень. Проведено аналіз аеродинамічних характеристик, оцінюючи вплив відхилень профілю на опір і стабільність снаряда. Результати дозволяють сформулювати рекомендації щодо вибору оптимальних кривих і методів оптимізації для геометричного моделювання аеродинамічних форм.

Дослідження підкреслює важливість комплексного підходу до моделювання, поєднуючи аналітичні криві, числову оптимізацію та фізичні обмеження для досягнення високої точності та аеродинамічної ефективності. Отримані висновки можуть бути використані для вдосконалення конструкцій балістичних снарядів, а також у суміжних галузях, де потрібне точне геометричне моделювання складних профілів.

Ключові слова: геометричне моделювання, балістичний снаряд, аналітичні криві, аеродинамічна ефективність, числова оптимізація, штрафні функції, поліноміальні криві, сигмоїдальні криві, нелінійні криві.

ОЦІНЮВАННЯ АДЕКВАТНОСТІ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ АСИНХРОННОГО ДВИГУНА В УМОВАХ НЕЯКІСНОГО ЕЛЕКТРОЖИВЛЕННЯ

2025-07-17T07:17:14+00:00

У статті розглянуто підхід до математичного моделювання асинхронного електродвигуна, який працює в умовах неякісного або нестабільного електроживлення. Запропонована модель є універсальною і побудована на основі аналізу миттєвих значень напруги та струму за допомогою просторово-часових векторних комплексів (ПВК), що дозволяє уникнути необхідності перетворення сигналів у гармонічні складові чи симетричні компоненти. Такий підхід забезпечує більш гнучке та точне моделювання електромагнітних і енергетичних процесів у двигуні навіть у складних умовах роботи.

Метою дослідження є експериментальна перевірка адекватності розробленої моделі шляхом порівняння розрахованих та фактичних значень основних техніко-економічних показників двигуна — таких як коефіцієнт корисної дії (ККД), коефіцієнт потужності (cos φ), а також сумарні втрати потужності. Для цього було проведено натурний експеримент у цеху, де умови живлення характеризувалися спотворенням синусоїдальності, асиметрією фаз і значними коливаннями навантаження.

Дослідження проводилося на асинхронному двигуні потужністю 11 кВт із короткозамкненим ротором, при навантаженнях у діапазоні від 2,3 до 12,8 кВт. Експериментальні дані збиралися за допомогою спеціалізованого вимірювального комплексу із високоточними датчиками струму та напруги (на основі ефекту Холла), а також тахогенератора. Верифікація моделі здійснювалася з використанням регресійного аналізу та оцінки середньоквадратичної похибки.

Отримані результати свідчать про високу точність прогнозування моделювальних параметрів: середньоквадратична відносна похибка склала 2,72 % для ККД, 3,0 % для коефіцієнта потужності та 3,99 % для сумарних втрат. Коефіцієнт кореляції між змодельованими та експериментальними даними становив 0,99, що підтверджує адекватність обраного математичного підходу.

Модель є не лише теоретично обґрунтованою, а й практично придатною до впровадження у цифрові системи моніторингу та керування електроприводами в промислових умовах. Її застосування дозволяє підвищити ефективність експлуатації обладнання, виявляти аномалії у роботі двигуна та оптимізувати енергоспоживання в умовах спотвореного або несиметричного живлення.

Ключові слова: асинхронний двигун, математична модель, неякісне електроживлення, просторово-часові вектори, енергетичні показники, ККД, коефіцієнт потужності, сумарні втрати, експериментальна верифікація, цифрова діагностика

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ПРЕДСТАВЛЕННЯ ІНФОРМАЦІЇ В ПАМ’ЯТІ ДЛЯ АНАЛІЗУ ПРОДУКТИВНОСТІ ПРОГРАМНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ

2025-07-17T07:17:38+00:00

У сучасному цифровому ландшафті ефективність програмного забезпечення має вирішальне значення для успіху ключових секторів економіки, включаючи фінанси, торгівлю, охорону здоров'я, транспортні перевезення та енергетику. Неоптимальна продуктивність програмного забезпечення може мати серйозні наслідки, такі як зниження продуктивності обчислювальної системи, репутаційні та потенційні втрати.

Виявлення проблем з продуктивністю програмного забезпечення є багатогранним і складним завданням. Проблеми можуть виникати з різних причин: низька ефективність алгоритмів, застарілі технології з низькою продуктивністю, мови програмування, які не використовують повною мірою обчислювальні можливості, а також неправильне управління ресурсами або архітектурою програмного забезпечення. Ці фактори можуть взаємодіяти у складний, непередбачуваний спосіб, ускладнюючи ефективну діагностику та вирішення проблем, що призводить до непередбачуваних збоїв, втрати даних та помилкової роботи системи.

Важливість вирішення цих проблем посилюється поширеністю використання розподілених систем, де незначні дефекти можуть суттєво погіршити продуктивність. Таким чином, здатність виявляти, аналізувати та вирішувати проблеми з програмним забезпеченням має вирішальне значення при розробці та супроводі програмних систем. Отже, завдання розробки нових математичних моделей для виявлення та аналізу проблем продуктивності програмного забезпечення є актуальним. В ІТ-секторі аналіз програмного забезпечення з метою його оптимізації є необхідним для розробки конкурентоспроможних програмних рішень. Надійність програмного забезпечення стає вирішальним фактором при виборі розробника і корелює зі стійкістю фірми на ринку. Якісне програмне забезпечення, що використовує менше обчислювальних ресурсів, зменшує витрати, що є життєво важливим для конкурентоспроможності. Надійність, безпека та стійкість до вразливостей є ключовими факторами для запобігання витоку персональних даних або іншої конфіденційної інформації.

Враховуючи ці фактори, вивчення та вирішення проблем продуктивності програмного забезпечення є не лише академічно важливим, але й стратегічним пріоритетом глобальної ІТ-індустрії. У цьому дослідженні розглядаються проблеми продуктивності програмного забезпечення, представлені підходи до виявлення неефективності та оптимізації програмного забезпечення. Проведено аналіз методів виявлення проблем продуктивності програмного забезпечення, запропоновано рекомендації та обмеження щодо застосування цих методологій.

Ключові слова: програмне забезпечення, продуктивність, знімок пам’яті, дублювання, гранулярність.

АНАЛІЗ СУЧАСНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ СКЛАДНИХ ПРОСТОРОВИХ ФОРМ

2025-07-17T07:17:57+00:00

Роботу присвячено аналізу останніх досліджень складних просторових форм у різних галузях науки та техніки. Нині у геометрії, комп’ютерному моделюванні та інженерії особлива увага приділяється вивченню складних геометричних об’єктів (форм), зокрема просторових. Ключове місце у таких роботах посідає вивчення багатогранних, решітчастих та взаємопов’язаних структур. У сучасних наукових роботах ці об’єкти розглядаються з точки зору як їхньої теоретичної корисності, так і практичного використання. Сьогодні геометричне проєктування, моделювання та застосування складних просторових структур є актуальними для різних галузей людської діяльності і становить фундаментальну проблему, що має як теоретичне, так і прикладне значення. Зростаюча складність потреб науки, освіти та техніки, зумовлена стрімким розвитком людського суспільства, змушує дослідників шукати нові шляхи використання та методи впровадження складних просторових форм для вирішення широкого класу задач. Розуміння подібних структур є фундаментальним для вивчення їхніх характеристик та властивостей, що може становити велике значення як для технічних, так і для педагогічних наук. Присвячені темі наукові праці слугують для подальших досліджень у сферах вищої математики, комп’ютерних наук, інженерії, промисловості, архітектури, дизайну тощо. Для підтвердження актуальності теми пропонується огляд літературних праць останніх років, які стосуються вивчення складних геометричних об’єктів у просторі, їхніх характеристик і рекомендацій щодо практичного застосування. У статті здійснено аналіз і спроба систематизації праць з теми. Стаття має на меті розкриття основних напрямів досліджень, яких дотримуються сучасні науковці. Особливу увагу у роботі приділено галузям геометричного моделювання, комп’ютерної графіки та інших прикладних наук, спрямованих на візуалізацію складних геометричних структур.

Ключові слова: складні просторові форми, багатогранник, багатогранна структура, решітчаста структура, взаємопов’язана структура, комп’ютерна графіка, комп’ютерне моделювання, адитивний друк.

АЕРОДИНАМІКА ТА ЕСТЕТИКА ЯК ОСНОВНІ ЧИННИКИ ФОРМОУТВОРЕННЯ КУЗОВНИХ ДЕТАЛЕЙ АВТОМОБІЛЯ

2025-07-17T07:18:17+00:00

Одним з визначальних показників аеродинаміки тіла є його габарити та форма. Взаємодія елементів кузова автомобіля в процесі руху з повітряним потоком, а саме здатність до зменшення опору повітря характеризується обтічністю його форми. Окрім того, особливості форми кузова є ключовим фактором естетичного сприйняття автомобіля як готового виробу.

Можливості сучасних САПР, а також здатність їх інтеграції дає змогу здійснити попередній аналіз функціональності майбутнього виробу за допомогою віртуальних випробувань.

Важливим аспектом при проєктуванні кузовних деталей є дотримання дизайн-концепції майбутнього автомобіля. Оцінка зовнішнього вигляду готового виробу також забезпечується засобами візуалізації САПР. Комп’ютерне прототипування дозволяє на основі вже наявного об’єкту здійснювати модифікації геометрії цифрової моделі задля покращення його кінцевих характеристик. Наразі розробка об'єктів будь-якого типу неможлива без створення їх 3D-моделі. Використання методу реверс-інжинірингу дає змогу швидко отримувати тривимірні комп’ютерні прототипи з метою їх подальшої оптимізації. Так фотограметрія, як один із інструментів реверс-інжинірингу дозволяє відтворювати цифрові моделі кузовних деталей транспортних засобів за оригіналом або його фрагментом.

В даній роботі було проведено аналіз історико-технічних чинників, що мали вплив на розвиток форми кузова автомобіля. Запропоновано використання методу реверс-інжинірингу для оцінки обтічності автомобіля на основі порівняльного аналізу значень коефіцієнту аеродинамічного опору поверхневої спрощеної 3D моделі кузова та отриманої за допомогою фотограметрії з реального об’єкту.

Ключові слова: коефіцієнт аеродинамічного опору, форма кузова, формоутворення, дизайн, тривимірне моделювання, фотограметрія, реверс-інжиніринг, Autodesk Inventor Professional, Autodesk ReCap Photo.

РОЗГАДКА ТАЄМНИЦІ СФЕРИЧНОЇ ПЕРСПЕКТИВИ ХУДОЖНИКІВ ПІВНІЧНОГО ВІДРОДЖЕННЯ

2025-07-17T07:18:39+00:00

Запропоновано спосіб побудови сферичної перспективи за допомогою найпростіших креслярських інструментів, а саме: циркуля та лінійки. Спосіб заснований на уявленні про те, що сферична перспектива є не що інше, як віддзеркалення у круглому опуклому дзеркалі. Підказкою до розкриття таємниці сферичної перспективи послужило кругле опукле дзеркало, яке зображується на багатьох портретах в інтер’єрі Яна ван Ейка, Робера Кампена, Ієроніма Босха, Пітера Брейгеля та інших видатних художників Північного Відродження. Більш того, було припущено, що вони знали спосіб, за допомогою якого можна побудувати відображення геометричної фігури в круглому опуклому дзеркалі за допомогою циркуля та лінійки, та вміли застосовувати отримані знання для побудови простору у своїх мальовничих полотнах.

Тому запропонований спосіб побудови сферичної перспективи можна розглядати як реконструкцію геометричних побудов, за допомогою яких художники Північного Відродження відтворювали на площині картини простір, що візуально сприймається.

Причому завдяки уважному прочитанню геометрії картин художників Північного Відродження було дано визначення сферичної перспективи. Будемо називати сферичною перспективою паралельну проекцію тривимірного образу геометричної фігури, що є її віддзеркаленням щодо сфери, на площину, що торкається до неї.

Таким чином, у цій роботі було дано нариси теорії сферичної перспективи, що відповідає особливостям природного зорового сприйняття людини. Крім теоретичної цінності, у нашого дослідження є і практичне значення, яке полягає в тому, що сферичну перспективу, представлену як відображення у сферичному дзеркалі, можна застосувати у технології «віртуальної реальності». Це дозволить наблизити картину тривимірної сцени до природного зорового сприйняття людини і передати предмети на її передньому плані без суттєвих спотворень, притаманних лінійній перспективі.

Ключові слова: сферична перспектива, геометричні побудови за допомогою циркуля та лінійки, мистецтво Північного Відродження.

ВИЗНАЧЕННЯ КІЛЬКОСТІ ВІДБИТТІВ СВІТЛОВОГО ПРОМЕНЯ ВСЕРЕДИНІ СВІТЛОВОЇ ШАХТИ У ВИГЛЯДІ ПРАВИЛЬНОЇ ШЕСТИКУТНОЇ ПРИЗМИ

2025-07-17T07:18:58+00:00

В статті розроблено алгоритм та відповідне програмне забезпечення визначення кількості відбиттів у вертикальній призматичній світловій шахті з горизонтальними верхньою та нижньою основами у вигляді правильного шестикутника.

Для визначення кількості відбиттів променя від поверхні призматичної шахти з горизонтальними верхньою та нижньою основами у вигляді правильного шестикутника використано спосіб випрямлення більярдної траєкторії, запропонований німецьким математиком Г.А. Шварцем. Суть цього способу полягає у тому, що шахта і падаючий на її грань промінь дзеркально відображаються відносно відбиваючої грані. При цьому промінь падаючий і відбитий утворюють одну пряму. Повторюючи таке відображення для кожної грані шахти, можна замостити простір навколо шахти призмами з правильними шестикутниками в основах, а траєкторію променя випрямити.

Для демонстрації роботи алгоритму була задана призма з правильними шестикутника в основах (грані вертикальні). Сторона основи шахти складала 2 м, а висота призми дорівнювала 3 м. Розрахункова точка знаходилася в площині нижньої основи, а через точку проходили вектори вихідного променя. Координати абсцис і ординат вектора залишалися сталими, а кут його нахилу до горизонтальної площини змінювали з кроком 5 градусів. На рисунках були показані результати роботи алгоритму при кутах нахилу вихідного променя до горизонтальної площини 30⁰, 25⁰і 20⁰. При куті нахилу падаючого променя до горизонтальної площини 30⁰ було два відбиття світлового променя, а при 25⁰і 20⁰ – було відповідно 3 і 4 відбиття. Тобто при зменшені кута нахилу вихідного променя до горизонтальної площини кількість відбиттів збільшується, а довжини відрізків горизонтальної проєкції випрямленого променя залишаються сталими в межах окремого шестикутника.

Координати вхідного променя можна отримати, відбивши дзеркально світловий промінь від бічної площини призми, на якій знаходиться перша відбиваюча точка.

Розроблений алгоритм визначення кількості відбивань і траєкторії променя дозволяє обчислити яскравість вихідного променя для затверджених МКО (Міжнародною комісією з освітлення) сучасних моделей розподілу яскравості за небозводом і, відповідно, моделювати освітленість відбитим від поверхонь шахти світлом.

Ключові слова: світлова шахта, трасування світлового променя, шестикутна призма, яскравість променя.

ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РЕКОНСТРУКЦІЇ ДЕЯКИХ ОБ’ЄКТІВ ЗА ЇХ ТІНЬОВИМИ ПРОЄКЦІЯМИ

2025-07-17T07:19:17+00:00

Інструментами побудови зображень та обробки графічної інформації є безліч засобів, якими сьогодні досконало оперує сучасний, досвідчений інженер, який повинен вміти знаходити нові розв’язання технічних задач на основі поєднання вихідництва, математики, оновлених методик, прикладних наукових знань та професійно підходити до нових впроваджень.

У курсі нарисної геометрії прямою задачею є вивчення методів побудови зображень. При цьому можна отримати розв’язок незалежно від завдання проєкціювання і виду об’єкта, що відображається. Зворотньою задачею можна вважати задачу розпізнавання зображених образів, знаходження їх позиційних і метричних характеристик. Саме така задача є задачею, яку не завжди можна розв’язати. Відновлення інформації про геометричний об’єкт є важливою необхідністю.

Актуальність теми визначається необхідністю дослідження у знаходженні та виявленні загальних методик, які часто виникають при застосуванні різних аспектів реконструкції геометричних об’єктів за їх тіньовими проєкціями.

У роботі дано означення поняттю «еліпсоїд», як спільного об’єкта досліджень. Зазначено, що в деяких впровадженнях виникає задача реконструкції «еліпсоїда» за його ортогональними тіньовими проєкціями, які застосовуються, наприклад, у ядерній технології для визначення енергетичних параметрів мікротвелів, при стереологічному контролі для визначення параметрів доменів-включень. При цьому передбачається, що поверхню гранули або домену з достатньою точністю можна апроксимувати «еліпсоїдом».

Існує безліч задач з різних розділів науки і техніки, у розв’язанні яких можна застосувати метод реконструкції геометричних об’єктів за їх достатньо інформативними тіньовими проєкціями, наприклад, при аерофотозніманні, як засіб компенсації недоліків зображенн, у рентгенографії як засіб поліпшення рентгеновських знимків, в галузі діагностики плазми й особливо в експерементах по керованому термоядерному синтезі.

Ключові слова: геометричний об’єкт; тіньова проєкція; еліпсоїд; реконструкція; стереологія; гранула; домен.

ОГЛЯД ТА КЛАСИФІКАЦІЯ ОНЛАЙН-СЕРВІСІВ ДЛЯ ПІДТРИМКИ ПРОЦЕСІВ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ

2025-07-17T07:19:41+00:00

У статті здійснено огляд та класифікацію сучасних онлайн-сервісів, які використовуються для підтримки процесів математичного моделювання в освітньому середовищі. Обґрунтовано актуальність використання онлайн-калькуляторів у контексті цифрової трансформації освіти та впровадження компетентнісного підходу до навчання математики. Систематизовано понад двадцять онлайн-сервісів за функціональними можливостями, орієнтацією на користувача (учень, вчитель, студент, науковець) та потенціалом до моделювання. Виокремлено чотири основні групи сервісів: для інженерного та наукового моделювання; для використання у закладах загальної середньої освіти та закладах вищої освіти; мобільні помічники (зокрема фотокалькулятори); сервіси для самонавчання з поясненнями. З кожної групи сервісів виокремлено засіб та наведено приклад його використання в освіті. Maple – як середовище для створення математичних моделей і 3D-візуалізацій складних об’єктів; Desmos – як інтерактивного графічного конструктора функцій і інструменту дослідницької діяльності; Photomath – як мобільного помічника з розпізнаванням прикладів і поетапними поясненнями; MathDF – як покрокового калькулятора для вивчення матриць, комплексних чисел, інтегралів та рівнянь. Наведено приклади завдань, ілюстрації та сценарії використання зазначених ресурсів на уроках математики, з урахуванням сучасних підходів до викладання, таких як проєктне навчання та STEM-орієнтація. Зроблено висновок про доцільність поетапної інтеграції цифрових сервісів у шкільну та вищу освіту як засобу розвитку математичних компетентностей, критичного мислення та цифрової грамотності учнів. Окреслено перспективи розробки методичних рекомендацій для педагогів з прикладами вправ, адаптованих до навчальних програм різного рівня, а також визначено можливості інтеграції цифрових рішень у систему підвищення кваліфікації вчителів. Підкреслено важливість поєднання технологічної інфраструктури з педагогічною доцільністю та стратегією сталого розвитку цифрової освіти в Україні.

Ключові слова: математичне моделювання, онлайн-калькулятори, цифрові освітні інструменти, комп’ютерні засоби навчання; MathDF, Photomath, Maple, Desmos, графіки функцій, мобільні застосунки, покрокові рішення, STEM, проєктне навчання, математичні компетентності, цифрова трансформація освіти, математична візуалізація, інструменти аналізу.

ВПЛИВ НАХИЛУ ПОВЕРХНІ НА СТІЙКІСТЬ БЕТОННИХ СУМІШЕЙ У МОНОЛІТНИХ КОНСТРУКЦІЯХ

2025-07-17T07:20:00+00:00

У статті досліджується актуальна проблема сучасного будівництва – забезпечення рівномірного розподілу бетонної суміші на похилих і криволінійних поверхнях монолітних просторових конструкцій. З огляду на поширення інноваційних архітектурних рішень та використання оболонкових форм у сучасному будівництві, зростає потреба в науковому обґрунтуванні процесів укладання бетонних сумішей на складних основах. Запропоновано аналітичну модель, що дозволяє враховувати вплив нахилу поверхні, граничного напруження зсуву, динамічної в’язкості бетонної суміші та градієнтів швидкості на характер її руху та розподілу. Особливу увагу приділено виявленню критичних зон, у яких імовірні локальні деформації, що можуть негативно впливати на міцність та довговічність бетонного покриття. Зі збільшенням кута нахилу поверхні зростає доля сили тяжіння, яка спрямована вздовж опалубки, що підвищує ризик сповзання бетонної суміші до нижніх зон. Важливим є дотримання балансу між фізичними властивостями суміші (зокрема, в’язкопластичністю) та геометрією поверхні. У роботі описано рівняння руху бетонної суміші на похилій основі, де ключовими параметрами виступають товщина шару, кут нахилу, глибина точки відносно верхньої межі та граничне напруження зсуву. Розв’язання цього рівняння дозволило отримати аналітичний вираз, за яким можна обчислити критичний кут нахилу, за якого бетонна суміш переходить у стан течії. У статті наведено порівняльний аналіз традиційних та інноваційних технологій формування монолітних структур. Показано, що ефективність бетонування залежить не лише від характеристик суміші, а й від точного врахування гравітаційних впливів, параметрів геометрії поверхні та властивостей опалубки. Пневматична технологія демонструє перспективність швидкомонтованих форм для створення геометрично складних бетонних конструкцій. Результати проведеного дослідження створюють наукове підґрунтя для подальших робіт у напрямі моделювання поведінки бетонних сумішей на нестандартних поверхнях, оптимізації технічних рішень під час бетонування складних архітектурних форм, підвищення надійності та довговічності будівель.

Ключові слова: критичні деформації, монолітні просторові покриття, запобігання дефектам.

РОЗРОБКА ВЕБ-ДОДАТКУ ДЛЯ ТРИВИМІРНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ІНТЕР’ЄРІВ ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ АЛГОРИТМІВ ПРОСТОРОВОГО АНАЛІЗУ

2025-07-17T07:20:26+00:00

В роботі досліджується актуальна тема, що полягає у постійному розвитку технологій веб-дизайну та веб-розробки, які відкривають нові можливості для створення інтерактивних та візуально привабливих веб-сайтів. Розвиток 3D технологій дозволяє створювати детальні віртуальні моделі інтер'єрів, що є особливо важливим для дизайнерських студій, а також індивідуальних замовників, які прагнуть візуалізувати майбутнє облаштування свого житла або офісу. Обʼєктом роботи є – процес розробки веб-сайтів, тоді як предметом є методи візуалізації 3D моделей інтер'єрів у рамках веб-дизайну. Наукова новизна роботи полягає в адаптації і оптимізації сучасних технологій веб-розробки для інтеграції складних 3D моделей, що до цього вимагало значних ресурсів комп'ютера та високої обчислювальної потужності. Розробка легких та доступних методів візуалізації може значно спростити процес проектування інтер'єрів та зробити його доступнішим для широкого кола користувачів.

Практичне значення дослідження визначається можливістю використання розробленого сайту для онлайн-презентацій інтер’єрних рішень, що значно підвищує якість обслуговування клієнтів та забезпечує більш ефективне взаємодію між дизайнерами та замовниками. Обираючи програму для створення моделей для візуалізації, було віддано перевагу середовищу Blender. Також для реалізації проєкту було обрано технологію Verge3D. Verge3D є потужним інструментом для створення інтерактивних 3D веб-додатків, що дозволяє безпосередньо взаємодіяти з 3D моделями через веб-браузер. Для локального серверного середовища було обрано OpenServerPanel. Цей інструмент надає всі необхідні засоби для налаштування локального веб-сервера, включаючи підтримку Apache, MySQL, PHP та інших необхідних компонентів. OpenServerPanel забезпечує простоту у встановленні та налаштуванні, що дозволяє швидко розгортати веб-додатки та тестувати їх перед публікацією. Він також підтримує різні конфігурації серверів, що дозволяє адаптувати його до специфічних вимог проєкту. Результатом виконаної роботи є проведення аналізу існуючих методів комп'ютерних технологій 3D моделювання та ретрейсингу промінів, їх можливостей і проблем при вирішенні завдань візуалізації інтер'єрів, а також створення веб-додатку, що забезпечує інтерактивну візуалізацію тривимірних моделей інтер'єрів

Ключові слова: 3D моделювання, просторовий аналіз, ретрейсинг промінів, Blender, Verge3D.

ВИЗНАЧЕННЯ МАСИ ПІВНЕСКІНЧЕННОЇ СТРУНИ

2025-07-17T07:20:46+00:00

Розглядається півнескінченна (сингулярна) струна з невідомим розподілом густини. Маса струни також вважається невідомою і, можливо, нескінченною величиною. Лівий кінець струни, який має можливість ковзати за відомим законом f(t) по напрямку, перпендикулярному до її рівноважного стану, породжує поширювальну хвилю. Взаємодія цієї хвилі з лівим кінцем за час 2Т формує реакцію R(f), яка вимірюється.

Як відомо, інформації f R(f) (вхід – вихід) достатньо, щоб розв’язати обернену задачу: знайти густину струни в кожній точці інтервалу (0; x(T)), захопленому хвилями до моменту часу T.

Одним із ефективних методів розв’язання цієї задачі є ВС-метод (Boundary Control method, М. Бєлішев, 1986) – підхід до обернених задач, грунтовний на їх зв'язку з теорією межевого керування. В ВС-методі використовуються хвилі, які поширюються вглиб, розсіюються на неоднорідностях струни та приносять інформацію на межу.

ВС-метод дозволяє по відомій реакції на межі знаходити параметри струни оптимальним за часом чином: глибина відновлення пропорційна часу спостереження на межі. Ця властивість найбільш актуальна в геофізичних дослідженнях оскільки саме вона дозволяє відновлювати параметри середовища в реальному часі. Припустимо, що зовнішній спостерігач має можливість проводити вимірювання тільки на межі (лівому кінці) струни. Виникає питання: яку інформацію про якісний характер спектра струни він може отримати з цих вимірювань?

Як відомо, скінченність повної маси струни є необхідною умовою дискретності ії спектра [2], [3]. Отже, скінченність або нескінченність маси струни є важливою інформацією для якісного аналізу спектра струни.

В роботі в термінах даних оберненої задачі на півосі (за відомими операторами реакції R(f) для всіх T) отримана формула повної маси неоднорідної струни з невідомим розподілом густини. Отримана формула надає можливість ефективної перевірки необхідної умови дискретності спектра сингулярної струни.

Ключові слова: гіперболічні рівняння, сингулярна крайова задача, обернена задача, півнескінченна струна, метод межевого керування, оператор реакції.

ПРО ДИНАМІЧНУ ЗАДАЧУ ОПТИМАЛЬНОГО РОЗБИТТЯ МНОЖИН З ФІКСОВАНИМИ ЦЕНТРАМИ

2025-07-17T07:21:05+00:00

У статті сформульовано та досліджено динамічну задачу оптимального розбиття множини (ОРМ) з фіксованими центрами, яка належить до класу задач просторового розподілу з динамічно змінюваними параметрами. Наведено формалізовану постановку задачі, алгоритм її розв’язання та результати чисельного експерименту, що підтверджують ефективність і точність запропонованого підходу. Актуальність обраної теми зумовлена широкою застосовністю задач оптимального розбиття у динамічному формулюванні для розв’язання прикладних задач у логістиці, управлінні ресурсами, плануванні обслуговування територій та інших галузях, де витрати мають часову залежність. На відміну від статичних модельних задач, у реальних умовах вартість транспортування між елементами може змінюватися у часі, що суттєво впливає як на пошук оптимального розв’язку, так і на значення цільового функціоналу. У роботі розглянуто декілька моделей вартості транспортування, включаючи лінійну, експоненційну та випадкову (стохастичну), що дозволяє покращити адаптацію моделей до конкретних прикладних ситуацій.

Для реалізації чисельного експерименту було розроблено спеціалізоване програмне забезпечення на мові Python, яке інтегрує сучасні чисельні методи, зокрема метод покрокової оптимізації, модифіковані градієнтні підходи, а також засоби графічного аналізу результатів. Модель ґрунтується на класичній постановці задачі оптимального розбиття з фіксованими центрами, проте вводить часову залежність у вартісні коефіцієнти, що дозволяє моделювати складні сценарії розподілу з урахуванням фактору часу. Проведено порівняльний аналіз результатів моделювання як у динамічному, так і в статичному підходах, що дозволило виявити переваги динамічного формулювання: вищу точність, більшу гнучкість та адаптивність при зміні умов задачі.

Обчислення здійснювались на персональному комп’ютері з конфігурацією: Intel Core i7-12700K, 8 ядер, частота 3,6 ГГц; оперативна пам’ять 32 ГБ DDR4; накопичувач – SSD 2 ТБ. Отримані результати підтвердили не лише ефективність математичної моделі, а й правильність реалізації алгоритмів, що додатково проілюстровано графічними побудовами фазових траєкторій та візуалізацією отриманих розбиттів.

Ключові слова: динамічна задача, оптимальне розбиття множини, цільовий функціонал, фазова траєкторія, чисельні методи, часові залежності, Python.