Сучасні проблеми моделювання

ЗАСТОСУВАННЯ КРУГОВОГО МАСИВУ ЯК ЗАСОБУ ПАРАМЕТРИЗАЦІЇ В КОМП’ЮТЕРНОМУ ДИЗАЙНІ

2026-05-31T08:30:36+00:00

Проєктування сучасних промислових та побутових виробів стає дедалі складнішим і різноманітнішим, що потребує скорочення термінів виконання та оптимізації кількості залучених фахівців. Цього можна досягти завдяки автоматизації процесів та використанню комп’ютерних технологій. У цьому контексті параметричне геометричне моделювання набуває особливого значення як ефективний інструмент інженерів і дизайнерів.

Параметрична тривимірна комп’ютерна модель дає змогу оперативно змінювати геометрію виробу в широкому діапазоні та швидко оцінювати його конструктивні, експлуатаційні, технологічні й естетичні характеристики, що дозволяє визначати переваги й недоліки різних варіантів виконання та знаходити оптимальне рішення. У середовищі Autodesk Inventor та інших сучасних CAD‑системах зазвичай користувачами це реалізується завдяки параметризації взаємного розташування робочих площин, геометрії твірних (замкнених контурів для твердотільних моделей) та траєкторій видавлювання. Але існує значна кількість моделей, геометрія яких може істотно або навіть принципово змінюватись шляхом зміни параметрів певного первісного елементу, скопійованого круговим масивом, та завдяки зміні кількості елементів в цьому масиві.

У роботі виконано аналіз існуючих підходів та запропоновано нові алгоритми формоутворення, в яких саме масив по колу лежить в основі параметризації моделі та дозволяє отримувати принципові зміни в її геометрії шляхом зміни лише одного чи декількох параметрів. Для апробації автором побудовано в програмі Autodesk Inventor приклади параметричних рядів моделей машинобудівних та побутових виробів, елементів геометричних орнаментів, виконаних з застосуванням запропонованих алгоритмів. Наведено приклади застосування функції Inventor iLogic, яка дозволяє прописувати на етапі створення моделі ті чи інші правила (інструкції), що безпосередньо впливають на геометрію моделі, а надалі їх редагувати. Її використання дозволяє додатково збільшити різноманітність геометричних форм, що можуть бути отримані на базі лише однієї параметричної моделі.

Результати роботи можуть бути використані в роботі конструкторських та дизайнерських бюро, навчальному процесі.

Ключові слова: геометрична параметризація, круговий масив, методи формоутворення, комп'ютерне моделювання, Autodesk Inventor.

ТОПОЛОГІЧНІ СТРУКТУРИ ВІРТУАЛЬНОЇ РЕАЛЬНОСТІ

2026-05-31T08:31:41+00:00

У статті розв’язано актуальну науково-практичну проблему підвищення обчислювальної ефективності рендерингу та забезпечення стабільності динамічної деформації тривимірних поверхонь у системах віртуальної реальності в режимі реального часу. Сучасні технології тривимірного сканування, сегментації медичних знімків та генеративного штучного інтелекту створюють високополігональні неструктуровані сітки з надмірною щільністю (до 107 полігонів) і численними топологічними дефектами. Безпосередній рендеринг таких об’єктів на автономних VR-гарнітурах викликає критичне падіння частоти кадрів нижче норми у 90 FPS та виникнення ефекту кіберзаколисування. Традиційні методи спрощення геометрії хаотично руйнують структуру направляючих ліній, що призводить до появи візуальних артефактів та зламів сітки під час анімації.

Для подолання цих обмежень розроблено алгоритм адаптивної ретопології, що базується на декомпозиції геометричних даних на два незалежні рівні. А саме, обчислювально легкий регулярний чотирикутний каркас та карту високочастотних деталей для апаратного прорахунку освітлення. Математичний апарат алгоритму поєднує первинне спрощення за метрикою квадратичної помилки із контролем Ейлерової характеристики для збереження топологічного роду поверхні, а також генерацію тангенціального орієнтаційного крос-поля. Це дозволило автоматично прокладати ребра полігонів уздовж ліній головних кривизн поверхні та переносити топологічні сингулярності у статичні, нерухомі під час анімації зони об’єкта.

Експериментальна апробація розробленого алгоритму здійснена у середовищі Unreal Engine 5.5 на автономній VR-гарнітурі Meta Quest 3 та стаціонарній системі PCVR. Для тестування використано три типи моделей- високоточний скан голови людини, анатомічну модель серця та індустріальний механічний вузол. Результати моделювання показали, що запропонований метод забезпечує зниження середньої геометричної похибки Гаусдорфа в 4,5 раза порівняно з традиційною децимацією. При цьому час генерації одного кадру на Meta Quest 3 скоротився до 8,3–10,8 мс, що дозволило досягти стабільної частоти кадрів на рівні 92–120 FPS.

Ключові слова: топологічні структури, моделювання, нейронні мережі, віртуальна реальність, міміка аватару

ПРИКЛАДИ УТВОРЕННЯ ХАРАКТЕРИСТИЧНИХ ФУНКЦІЙ ДЛЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧНОГО ТОЧКОВОГО ПОЛІНОМУ

2026-05-31T08:32:19+00:00

Виходячи із попередніх досліджень, наголошується, що однією із головних умов складання точкових поліномів для кривих ліній є утворення однопараметричних характеристичних функцій, із яких створюється однорозмірна компоматриця, і які являють собою функціональний базис створюваного точкового поліному. Підкреслюється, що для кожної точки вихідної дискретно поданої кривої лінії утворюється окрема характеристична функція. Для цього параметризується кожна точка вихідного точкового ряду уздовж ланок його супровідної ламаної лінії.

Надається пояснення щодо утворення характеристичних функцій у вигляді простих відношень трьох точок, яке є інваріантом паралельного проєктування. Наводиться приклад параметризації базисних точок дискретно поданої просторової кривої лінії.

Надано приклади утворення двох характеристичних функцій для прямої лінії, трьох характеристичних, що проходять через криву, визначену трьома точками та чотирьох характеристичних функцій для кривої, визначеної чотирма базисними точками. Створено графіки-схеми для трьох та чотирьох характеристичних функцій, вирази яких було записано попередньо. Також наведено узагальнені записи для усіх розглянутих характеристичних функцій. Створено також узагальнений запис характеристичних функцій для дискретно поданої кривої лінії, що визначена n базисними точками. Вказується, що усі разом характеристичні функції являють собою, в параметричній формі, функціональний базис точкового поліному, який неперервно описує вихідний дискретно поданий ряд точок, що визначає просторову криву лінію. Надаються рівняння точкового поліному у загальному вигляді та у координатних формах.

За результатами дослідження встановлено, що для побудови неперервної композиційної просторової кривої, заданої дискретним рядом точок, необхідно формувати характеристичні функції базисних точок, які утворюють функціональний базис кривої та є елементами однорозмірної параметричної композиційної матриці. Запропонований узагальнений запис характеристичної функції дозволяє уникнути невизначеності типу нуль поділити на нуль і забезпечує коректність її побудови.

Ключові слова: точкові поліноми, однопараметричні характеристичні функції, компоматриця параметрична, функціональний базис точкового поліному, параметризація точок, дискретна крива лінія.

ДО ПИТАННЯ КОМП’ЮТЕРНОГО ГЕОМЕТРИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ДИСКОВИХ СФЕРИЧНИХ ПІДГОРТАЧІВ

2026-05-31T08:32:53+00:00

У статті розглянуто деякі питання комп’ютерного геометричного моделювання таких сільськогосподарських ґрунтообробних знарядь, як дискові сферичні підгортачі. Актуальність зазначеної тематики обумовлена наступними фактами. У нинішній складний воєнний час провідною галуззю економіки нашої держави є аграрний сектор. Тому подальше вдосконалення відповідних технічних засобів становить важливу науково-прикладну проблему. Відомо, що комп’ютерне моделювання, взагалі та геометричне зокрема, дозволяє ефективно досягати потрібних результатів, суттєво зменшувати необхідність проведення дорогих натурних експериментів. Це обумовлює його теперішній стрімкий розвиток. Мається на увазі розробляння нових моделей, способів, прийомів та алгоритмів. Один із таких підходів становить методологія структурно-параметричного формоутворення, запропонована науковою школою прикладної геометрії Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського». У даній публікації для ілюстрації було обрано варіантний аналіз концептуальної конструкції дискового сферичного підгортача на стадії ескізного проєктування. Опрацьовано питання кількості одночасно оброблюваних рядків, регулювання відстані між ними, тобто ширини міжрядь, глибини обробітку, застосовуваних діаметрів дисків, радіусів їхніх сферичних поверхонь, кутів позиціонування відносно напряму руху знаряддя, отримуваних різних профілів борозни (її поперечних перерізів), площ останніх та ін. Наведено формулу визначення мінімального кута повороту диска відносно вертикальної осі для виключення небажаної взаємодії його задньої поверхні з ґрунтом. Для утворюваної дисковими сферичними підгортачами борозни представлено математичний апарат дефініції можливої геометрії її профілів, розрахунку їхніх площ. Подано відповідні приклади належного керування вказаними параметрами та характеристиками. Описано прийоми гнучкої адаптації проєктованих підгортачів до наявних аграрних виробничих умов. Окреслено деякі перспективні напрямки проведення подальших наукових досліджень із висвітленої тематики.

Ключові слова: дискові сферичні підгортачі, ескізне проєктування, комп’ютерне геометричне моделювання, профіль борозни, сільськогосподарські ґрунтообробні знаряддя.

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ КОВЗАННЯ ЧАСТИНКИ ПО ПОВЕРХНІ ВЕРТИКАЛЬНОГО ПРЯМОГО ГЕЛІКОЇДА, ЯКИЙ ОБЕРТАЄТЬСЯ НАВКОЛО ВЛАСНОЇ ОСІ

2026-05-31T08:33:25+00:00

Прямий гелікоїд може бути відкритим або закритим в залежності від способу його утворення. Якщо прямолінійний горизонтальний відрізок здійснює гвинтовий рух і при цьому перетинає вертикальну вісь, то гелікоїд буде закритим і відомим у техніці під назвою шнек. Якщо відрізок не перетинає вісь, рухаючись на певній відстані від неї, то утворений гелікоїд буде відкритим. У гвинтових конвеєрах застосовуються закриті гелікоїди як загальновідомі технічні гвинтові поверхні. Однак можливе використання інших гвинтових поверхонь, що потребує створення відповідної моделі руху частинки. Особливості даного дослідження полягають у створенні узагальненої математичної моделі, яка описує рух частинки по обох гелікоїдах. Цим вона відрізняється від відомих робіт, орієнтованих на конкретну поверхню. Отримані диференціальні рівняння другого порядку описують траєкторію ковзання частинки по поверхні. В залежності від конструктивних параметрів такою поверхнею може бути відкритий або закритий гелікоїд, а також частковий випадок – обертання горизонтального плоского диска. Це дозволило отримати параметри руху частинки по різних поверхнях та порівняти одержані результати. В результаті розв’язання диференціальних рівнянь чисельними методами побудовано траєкторії ковзання частинки по поверхні закритого і відкритого вертикальних гелікоїдів, які обертаються навколо власної осі. З’ясовано, що принципової різниці між траєкторіями ковзання немає. Одночасно при такому ковзанні здійснюється підйом частинки вгору. В початковий момент частинка на закритому гелікоїду опускається вниз, а потім піднімається вгору, тому її швидкість підйому дещо менша в порівнянні із закритим гелікоїдом. Якщо гелікоїди нерухомі, частинка починає опускатися вниз по поверхні, віддаляючись від осі гелікоїда і з часом зупиняється. Траєкторії ковзання частинки побудовано в межах відсіку поверхні, а також за умови, що вона не обмежена цилідром.

Ключові слова: прямий і відкритий гелікоїди, траєкторія, кутова швидкість, складний рух, диференціальні рівняння.

ДИСКРЕТНЕ ФОРМУВАННЯ ДВОВИМІРНИХ КАРКАСІВ СУПЕРПОЗИЦІЯМИ ТРЬОХ ТОЧОК ЗА РЕКУРЕНТНИМИ УМОВАМИ

2026-05-31T08:34:02+00:00

У статті представлено узагальнений підхід до визначення коефіцієнтів суперпозиції для заданих планів двовимірних точкових множин. Запропонований підхід забезпечує можливість розв’язання задач суцільної дискретної інтерполяції та екстраполяції числовими послідовностями для довільних двовимірних точкових множин за трьома попередньо визначеними вузловими точками.

Дослідження спрямоване на подальший розвиток методів моделювання дискретних геометричних образів із застосуванням класичного методу кінцевих різниць, статико-геометричного підходу та геометричного апарату суперпозицій.

Основою запропонованого дослідження стали попередні результати авторів, присвячені виявленню закономірностей зміни коефіцієнтів суперпозиції трьох вузлових точок поліноміальних функцій у межах обраних розрахункових схем.

У роботі досліджено процес формування дискретних каркасів двовимірних геометричних образів за відомою величиною рекурентної залежності, із заданим рівномірним кроком у плані.

У результаті одержані рекурентні формули визначення величин коефіцієнтів суперпозиції трьох вузлових точок заданого плану каркаса дискретного геометричного образу. При умові фіксованих значень показників суперпозиції можуть бути сформовані різні дискретні каркаси на основі будь-якої розрахункової схеми.

Отримані результати дають змогу здійснювати побудову дискретних геометричних образів на основі координат трьох заданих вузлових точок у межах обраної розрахункової схеми.

Проведене дослідження формує узагальнений підхід до встановлення закономірностей зміни коефіцієнтів суперпозиції, що можуть бути використані для обчислення аплікат довільної кількості точок під час моделювання довільних двовимірних точкових множин.

Ключові слова: дискретне моделювання, статико-геометричний метод, геометричний апарат суперпозицій, величина рекурентної залежності, коефіцієнти суперпозиції.

СИНТЕЗ ЗАМКНЕНИХ СИСТЕМ СТАБІЛІЗАЦІЇ ПОТУЖНОСТІ РІЗАННЯ ФРЕЗЕРНОГО ВЕРСТАТА З ОПТИМАЛЬНИМИ ДИНАМІЧНИМИ ТА СТАТИЧНИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

2026-05-31T08:34:37+00:00

У статті розглянуто актуальну науково-прикладну задачу синтезу замкнених систем автоматичної стабілізації потужності різання фрезерних верстатів із забезпеченням оптимальних динамічних та статичних характеристик. Підвищення ефективності процесів механічної обробки матеріалів вимагає створення високоточних систем керування, здатних підтримувати заданий рівень потужності різання за умов зміни технологічних параметрів, неоднорідності матеріалу заготовки та випадкових зовнішніх збурень. Стабілізація потужності різання дозволяє забезпечити підвищення продуктивності обробки, покращення якості поверхні деталей, зниження енергоспоживання та збільшення ресурсу різального інструменту.

У роботі запропоновано підхід до синтезу замкнених систем керування на основі дробово-інтегральних регуляторів із підвищеним порядком астатизму. Для оцінювання якості перехідних процесів сформульовано спеціальний критерій оптимізації, орієнтований на досягнення максимальної швидкодії при одночасному обмеженні перерегулювання в межах заданого коридору допустимих відхилень. На відміну від традиційних критеріїв середньоквадратичної помилки, запропонований функціонал враховує не лише величину похибки, але й її розташування відносно допустимої області, що забезпечує отримання перехідних процесів без значних короткочасних перевищень та провалів.

Пошук оптимальних параметрів системи здійснено із застосуванням генетичних алгоритмів, реалізованих у середовищі MATLAB. Використання еволюційного підходу дозволило уникнути проблем локальної оптимізації, характерних для градієнтних методів, та знайти глобально оптимальні значення параметрів передаточної функції для широкого діапазону значень дробового порядку інтегрування. Отримано таблицю нормованих параметрів оптимального налаштування та встановлено закономірності їх зміни залежно від порядку астатизму системи.

На основі отриманих результатів виконано синтез дробово-інтегральних регуляторів для системи стабілізації потужності різання. Розглянуто декілька структур регуляторів, побудованих за принципами дробового інтегрування та диференціювання. Показано, що використання регуляторів дробового порядку дозволяє формувати бажані перехідні характеристики із суттєво кращими показниками якості порівняно з класичними системами автоматичного керування.

Проведені дослідження динамічних режимів роботи системи під час пуску, а також при різких змінах навантаження, що імітують зміну глибини різання. Результати моделювання показали, що запропоновані регулятори забезпечують швидке відпрацювання збурень і значне зменшення відхилень потужності різання. Встановлено, що при зміні навантаження, яка викликає стрибок потужності різання на 50 %, система здатна знизити амплітуду перехідного відхилення приблизно з 200 Вт до 19–39 Вт залежно від вибраного порядку астатизму. Тривалість перехідного процесу при цьому не перевищує 0,02 с.

Окрему увагу приділено аналізу властивостей систем із дробовим порядком астатизму, більшим за одиницю. Показано, що такі системи забезпечують поступове зменшення швидкісної помилки при лінійній зміні сигналу завдання, що є важливою перевагою для задач стабілізації технологічних параметрів процесу різання. Доведено, що підвищення порядку астатизму сприяє зменшенню динамічних похибок, хоча одночасно ускладнює структуру регулятора. За результатами дослідження рекомендовано використовувати значення порядку астатизму в межах 1,7–1,8 як компроміс між точністю керування та складністю реалізації.

Практичне значення отриманих результатів полягає у можливості використання розроблених методів синтезу під час створення сучасних систем автоматичного керування металорізальними верстатами, роботизованими виробничими комплексами та іншими технологічними установками, де необхідне високоточне регулювання енергетичних параметрів процесу. Запропонований підхід забезпечує підвищення якості обробки, стабільності технологічного процесу та ефективності використання виробничого обладнання.

Ключові слова: потужність різання, фрезерний верстат, система автоматичного керування, дробово-інтегральний регулятор, дробовий порядок, астатизм, генетичний алгоритм, оптимізація, перехідний процес, стабілізація технологічних параметрів, MATLAB, електропривод.

МОДЕЛЮВАННЯ РОБОТИ ДЕРЕВ’ЯНИХ ЕЛЕМЕНТІВ З ВРАХУВАННЯМ ФАКТОРУ ВОЛОГОСТІ ТА ВІКУ НА ОСНОВІ ДІАГРАМ СТАНУ «МОМЕНТ-КРИВИНА»

2026-05-31T08:35:07+00:00

У статті наведено моделювання роботи дерев’яних елементів з врахуванням фактору вологості та віку на основі діаграм стану «момент-кривина». Також розглядалося спрощення нелінійного аналізу прямокутних дерев’яних елементів за роботи на згин на основі залежності «момент-кривина».

Актуальність дослідження пов’язана з необхідністю вдосконалення інженерних методів оцінки міцності та жорсткості дерев’яних елементів і конструкцій з урахуванням реальної механічної поведінки деревини. Метою роботи є визначення характерних параметрів граничного стану дерев’яних елементів з врахуванням фактору вологості та віку, а також розробка спрощених аналітичних функцій, що описують діаграми «момент-кривина» за вище наведених умов експлуатації. Показано, що залежність «кривина-момент» для прямокутних поперечних перерізів можна ефективно апроксимувати спрощеними функціями, придатними для інженерних розрахунків. Встановлено, що для заданої породи деревини, незалежно від розмірів елемента, на діаграмі «момент-кривина» існує характерна точка, що відповідає максимальній здатності до згинального моменту та критичній кривизні. Ця точка визначає граничний стан елемента та може бути використана для оцінки несучої здатності. Запропоновано спрощені функції, що описують кривизну як функцію згинального моменту. Наведено коефіцієнти для різних листяних та хвойних порід деревини (сосни, модрини, ялини, берези, вільхи, ясена) з урахуванням вмісту вологи та віку матеріалу. Запропоновані коефіцієнти дозволяють будувати практичні діаграми «момент-кривина» для різних умов експлуатації в залежності від породи деревини, вологості, а також віку. Результати можуть бути застосовані при проектуванні та числовому аналізі дерев’яних елементів і конструкцій, підвищуючи їх точність оцінки міцності та зменшуючи складність самого обчислення.

Ключові слова: деревина, згин, діаграма «момент-кривина», дерев’яний елемент, напружено-деформований стан, несуча здатність, жорсткість, моделювання, міцність, вологість.

ПРО ОДИН СПОСІБ ВИЗНАЧЕННЯ ПОЧАТКОВИХ УМОВ ДЛЯ ПОБУДОВИ МОДЕЛІ ЧЕБИШЕВСЬКОЇ СІТКИ НА НЕРОЗГОРТНИХ ЛІНІЙЧАСТИХ ПОВЕРХНЯХ

2026-05-31T08:35:37+00:00

У статті розглянуто спосіб побудови геодезичної лінії на відсіку нерозгортної лінійчастої поверхні. Першу точку кривої запропоновано вибрати на границі відсіку поверхні. Початковий напрямок побудови визначається вектором, розташованим в площині, дотичній до поверхні в першій точці.

Побудована геодезична розглядається як початкова лінія першого сімейства кривих сітки Чебишева.

Оскільки при одяганні поверхні тканиною з сітчастою структурою її нитки при накладенні на поверхню укладаються по лініях чебишевської сітки то пропонується вибрати крок побудови точок кривої з урахуванням властивостей як самої поверхні так і одягаємої тканини. Вибір максимально допустимої величини кроку дозволяє мінімізувати кількість побудов, забезпечивши при цьому відсутність утворення складок.

Для знаходження точок першої геодезичної запропоновано спосіб послідовного перепроекціювання, оснований на властивості паралельного перенесення векторів на поверхні, згідно якій при такому перенесенні на поверхні уздовж кривої двох векторів які виходять із однієї точки М_і і належать поверхні в близьку точку М_і+1, довжини векторів і кут між ними не змінюються. Побудова геодезичної закінчується при виході на границю заданого відсіку лінійчастої поверхні.

Для вибору першого напрямного вектору другого сімейства ліній сітки пропонується використати лінію перетину площини, дотичної до поверхні в першій точці кривої, що розташована на границі відсіку і нормальної площини, яка задається вектором нормалі до поверхні і початковим напрямом кривої. Побудову наступних напрямів векторів пропонується реалізувати за допомогою алгоритму в якому побудована геодезична крива розглядається як лінія стрікції лінійчастої поверхні, яка задана сімейством напрямних векторів . Такий підхід дозволяє за допомогою відносно ималої кількості обчислень отримати початкові умови для побудови моделі чебишевської сітки на відсіку нерозгортної лінійчастої поверхні.

Ключові слова: геодезична лінія; чебишевська сітка; геодезично паралельний перенос вектора на поверхні; одягання поверхні тканиною на сітчастій основі; довжина чарунки моделі чебишевської сітки; лінія стрікції.

МОДЕЛЮВАННЯ ТА ДОСЛІДЖЕННЯ УСТАЛЕНИХ РЕЖИМІВ АВТОНОМНОГО АСИНХРОННОГО ГЕНЕРАТОРА З ЄМНІСНИМ САМОЗБУДЖЕННЯМ

2026-05-31T08:36:06+00:00

У цій статті досліджуються усталені режими роботи автономного асинхронного генератора з самозбудженням (SEIG), оснащеного системою ємнісного збудження та працюючого за активного й активно-індуктивного навантаження. Зростаючий попит на автономні та децентралізовані системи електрогенерації на основі відновлюваних і альтернативних джерел енергії суттєво підвищив інтерес до асинхронних генераторів завдяки їхній простоті, надійності, низьким вимогам до обслуговування та відсутності окремого джерела збудження. Однак робота асинхронних генераторів із самозбудженням характеризується значними змінами вихідної напруги та частоти залежно від величини навантаження і коефіцієнта потужності, що ускладнює аналіз та проєктування таких систем.

Метою даного дослідження є розроблення та перевірка вдосконаленого методу розрахунку статичних характеристик автономного асинхронного генератора малої потужності з урахуванням зміни частоти генерованої напруги за зміни умов навантаження. На відміну від багатьох традиційних методів розрахунку, які припускають сталу вихідну частоту або нехтують її залежністю від навантаження, запропонований підхід враховує реальний вплив змін частоти, спричинених навантаженням. Це особливо важливо для асинхронних генераторів малої потужності, які зазвичай мають більші значення номінального ковзання і тому є більш чутливими до змін режимів роботи.

Запропонована математична модель базується на схемах заміщення як асинхронного генератора, так і асинхронного двигуна навантаження. Аналіз виконується за допомогою системи рівнянь електричної рівноваги, що описують електромагнітні процеси в системі «генератор–навантаження». Для спрощення розрахунків асинхронний двигун навантаження подано еквівалентним RL-колом з параметрами, які залежать від ковзання двигуна. Отримана математична постановка дозволяє одночасно визначати намагнічувальний реактивний опір генератора та відносну частоту генерованої напруги. Такий підхід забезпечує точне прогнозування напруги генератора, частоти та навантажувальної здатності за різних режимів роботи.

З використанням розробленої методики було розраховано статичні характеристики асинхронного генератора, створеного на базі стандартної асинхронної машини з короткозамкненим ротором типу AIR80A4SU2 номінальною потужністю 1,2 кВт. Генератор досліджувався за активного та активно-індуктивного навантаження. Результати показали, що нехтування зміною частоти призводить до суттєвих похибок під час оцінювання регулювання напруги, перевантажувальної здатності та меж стійких режимів роботи. Ці розбіжності стають особливо помітними, коли генератор живить асинхронні двигуни, що характеризуються великими пусковими струмами та змінним коефіцієнтом потужності.

Для перевірки адекватності запропонованої моделі було проведено широкомасштабні експериментальні дослідження на лабораторному стенді, до складу якого входили асинхронний генератор, приводний двигун постійного струму, регульована батарея конденсаторів та різні типи електричних навантажень. Експериментальні вимірювання включали визначення напруги генератора, струму навантаження, швидкості обертання ротора, ємності збудження та вихідної потужності. Отримані результати продемонстрували добру узгодженість із теоретичними прогнозами. Порівняльний аналіз розрахункових і експериментальних характеристик показав, що відхилення між експериментальними та теоретичними даними не перевищує 4–6 %, що підтверджує достовірність і практичну придатність розробленого методу розрахунку.

Ключові слова: асинхронний генератор із самозбудженням (SEIG); автономний асинхронний генератор; ємнісне самозбудження; батарея конденсаторів; статичні характеристики; аналіз усталених режимів; зміна частоти; регулювання напруги; характеристики навантаження; активно-індуктивне навантаження; перевантажувальна здатність.

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЛІНІЙНОГО АСИНХРОННОГО ДВИГУНА УДАРНОЇ ДІЇ МЕТОДОМ КІНЦЕВИХ ЕЛЕМЕНТІВ

2026-05-31T08:36:35+00:00

У статті розглянуто розробку математичної моделі лінійного асинхронного двигуна ударної дії на основі методу кінцевих елементів. Актуальність дослідження обумовлена необхідністю створення сучасних електромеханічних систем для машин ударної дії, які застосовуються у будівництві, промисловості та транспортних технологіях. Використання лінійних асинхронних двигунів дозволяє забезпечити високу надійність, компактність конструкції, значне тягове зусилля та спрощення кінематичних схем у порівнянні з традиційними механічними й гідравлічними приводами.

У роботі проведено аналіз електромагнітних процесів у лінійному асинхронному двигуні з комбінованим ротором. Математична модель побудована на основі рівнянь Максвелла з використанням векторного магнітного потенціалу. Для опису електромагнітного поля застосовано метод кінцевих елементів, який дозволяє врахувати геометричні особливості конструкції, нелінійні магнітні властивості матеріалів та розподіл електромагнітних параметрів у просторі. У моделі враховано особливості повного екранування фазних обмоток, наявність омідненого шару вторинного елемента та нелінійну характеристику магнітної проникності сталі.

У результаті моделювання отримано розподіли магнітної індукції та векторного магнітного потенціалу, визначено струми індуктора і вторинного елемента, швидкість руху, координати переміщення, потокозчеплення фаз, електрорушійні сили та втрати потужності у масивних елементах конструкції. Проведений аналіз показав, що наявність омідненого шару забезпечує концентрацію магнітного поля в повітряному зазорі та сприяє збільшенню тягового зусилля на початковому етапі пуску. Встановлено, що вторинний елемент масою 13 кг здатний досягати швидкості 2,25 м/с за 400 мс, а тягове зусилля двигуна становить до 250 Н.

Особливу увагу приділено дослідженню перехідних та усталених режимів роботи двигуна, а також аналізу впливу конструктивних параметрів на електромеханічні характеристики системи. Отримані часові залежності струмів, швидкості та тягового зусилля дозволили оцінити динамічні властивості двигуна та ефективність його роботи у режимах ударної дії. Результати моделювання підтверджують доцільність використання запропонованої конструкції у високошвидкісних електромеханічних системах.

Отримані результати підтверджують ефективність використання методу скінченних елементів для дослідження лінійних асинхронних двигунів ударної дії та можуть бути використані при проєктуванні сучасних електромеханічних систем спеціального призначення.

Ключові слова: лінійний асинхронний двигун, метод скінченних елементів, математична модель, електромагнітне поле, векторний магнітний потенціал, комбінований ротор, електромеханічні процеси, тягове зусилля, ударна дія, електропривод.

ВИЗНАЧЕННЯ ПРИРОДНОГО І ШТУЧНОГО ІНТЕЛЕКТУ У РАМКАХ ТЕОРІЇ САМООРГАНІЗАЦІЇ СКЛАДНИХ СИСТЕМ

2026-05-31T08:37:07+00:00

Розглядається проблема визначення природного та штучного інтелекту, яка має як теоретичне, так і практичне значення, впливаючи на розуміння свідомості та інтелекту, засобів їх моделювання і дослідження, а також можливості їх практичного використання для визначення перспектив побудови штучного інтелекту за принципами організації природного інтелекту.

Метою публікації є формулювання та обґрунтування визначень природного і штучного інтелекту з урахуванням факторів середовища, самоорганізації, еволюції та носія, порівняння визначень і з’ясування їх фундаментальних відмінностей.

Методологія роботи базується на засадах системного підходу та застосуванні теорії самоорганізації складних систем для формулювання та обґрунтування визначень, а також аналізу їх відмінностей.

Результатами роботи є методологія дослідження природного інтелекту, а саме, структури, взаємодії із середовищем, еволюції, з’ясування залежності від носія на основі теорії самоорганізації складних систем; формальні визначення природного і штучного інтелекту; порівняння їх властивостей і природи; оцінювання перспектив розвитку.

Наукова новизна полягає у тому, що визначення природного та штучного інтелекту вперше пов’язані із парадигмою дослідження на основі теорії самоорганізації систем і є, таким чином зіставимими і порівняними. Порівняння визначило фундаментальну різницю: природний інтелект є емерджентною відкритою системою і охоплює 1-6 рівні самоорганізації у рамках сценарію (1С, 1О), тоді як штучний інтелект є адитивною відкритою системою, яка охоплює 3 і 4 рівні самоорганізації у рамках сценарію (1С, 1О). Обидва не залежать від носія і здатні до еволюції. Розвиток штучного інтелекту за принципами побудови інтелекту природного потребує зміни парадигми і переходу від адитивної системи до емерджентної.

Ключові слова: природний інтелект, штучний інтелект, складна система, емерджентність, адитивність, теорія самоорганізації.

ГРАФІЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В КУРСІ «ІНЖЕНЕРНА ГРАФІКА ТА CAD СИСТЕМИ» ЗАСОБАМИ ГРАФІЧНИХ ПАКЕТІВ AUTOCAD ТА SOLIDWORKS

2026-05-31T08:37:40+00:00

Розглядається методика графічного моделювання в курсі “Інженерна графіка та CAD системи” за допомогою графічних пакетів AutoCAD та SolidWorks. Запропоновано поєднання цих інструментів при вивченні курсу “Інженерна графіка та CAD системи” на прикладі конкретних завдань, які виконують студенти, в тому числі і дистанційно в режимі веб-конференції в системі ATUTOR. Студенти починають вивчення курсу з опанування основ нарисної геометрії. Це позиційні та метричні задачі, які зручно виконувати за допомогою інструментів AutoCAD, створюючи 2D – кресленики. У залежності від спеціальності в AutoCADі студенти виконують завдання пов’язані із створенням 2D – креслеників архітектурних планів, електричних схем, розгорток, а також роблять швидкі 2D – начерки, які використовують на фінальній стадії 3D – моделювання в SolidWorks. При цьому студенти опановують основи геометричного моделювання, оперуючи лініями, дугами та іншими примітивами.

В SolidWorks студенти створюють 3D – моделі деталей (Parts), які збираються у вузли (Assemblits), на основі яких автоматично генеруються кресленики (Drawings). Це завдання “Проекційне креслення”, “Виконання зубчастого колеса”, “Зварні з’єднання” та “Деталювання складального креслення”.

Завдання “Різі. Деталі з різьбою”, “Проекції з числовими відмітками”, “Заклепкові з’єднання’, “План поверху”, “Розріз будівлі” виконують засобами AutoCAD. В ході виконання завдань студенти опановують сильні сторони обох графічних редакторів, набувають навики іх раціонального викорстання які будуть використовувати в майбутній інженерній діяльності.

Наш курс “Інженерна графіка та CAD системи, а також і його електронна версія” дозволяє студентам (в тому числі і дистанційно) оволодіти методами проектування та виготовлення креслеників, поєднуючи засоби AutoCAD та SolidWorks і бути конкурентно спроможними на сучасному ринку праці.

Ключові слова: моделювання, веб-конференція, дистанційне навчання, інженерна графіка та CAD системи, комп’ютерна графіка, програма Atutor, AutoCAD, SolidWorks.

ІНВАРІАНТНА ГЕОМЕТРИЧНА СТРУКТУРА ПРОЦЕСУ ІНЖЕНЕРНОГО МОДЕЛЮВАННЯ

2026-05-31T08:38:09+00:00

У статті інженерне моделювання розглянуто як процес побудови моделей технічних об’єктів, у якому виокремлено інваріантну геометричну структуру як його фундаментальну основу. Побудова моделі – це не лише формулювання математичних або чисельних залежностей. Як правило, цьому передує визначення форми об’єкта, структури зв’язків між його елементами, граничних контурів (топології) та граничних умов. Сукупність цих просторових і структурних характеристик формує геометричну структуру об’єкта, яка зберігається при зміні способу математичного опису, типу рівнянь або чисельного методу, тобто є інваріантною.

Обґрунтовано, що множина можливих моделей будь-якого об’єкта визначається його інваріантною геометричною структурою, яка визначає можливості подальшої формалізації. Наголошено, що геометрична складова є необхідною основою інженерного моделювання, оскільки будь-яка модель спирається на попередньо визначену просторову конфігурацію системи, яка визначає можливі способи її математичного представлення.

Процес моделювання розглядається як послідовність переходів від реального об’єкта до його математичної моделі через визначення геометричної складової та виокремлення інваріантної геометричної структури. Такий підхід дозволяє узагальнити логіку побудови моделей незалежно від характеру задачі та математичного апарату.

Запропонований підхід проілюстровано на прикладах моделювання тонкостінної оболонки, параметричної поверхні та кінематичної схеми механізму. Розглянуті задачі належать до різних класів, однак вони демонструють однакову логіку переходу від реального об’єкта до його математичної або чисельної моделі, що підтверджує універсальність інваріантної геометричної структури.

Отримані результати дозволяють розглядати геометричний етап не лише як самостійну складову процесу інженерного моделювання, а й як методологічну основу побудови моделей складних технічних систем.

Ключові слова: інженерне моделювання; методологія моделювання; геометричне моделювання; геометрична структура; просторова організація системи; топологія; геометрична складова моделі; інваріантна геометрична структура

БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНИЙ МЕТОД ЗБІЛЬШЕННЯ ДОСТОВІРНОСТІ ПЕРЕДАВАННЯ ЦИФРОВИХ ІНФОРМАЦІЙНИХ СИГНАЛІВ

2026-05-31T08:38:40+00:00

Запропоновано метод збільшення достовірності передавання інформаційних сигналів по цифрових каналах зв’язку з адитивними завадами. Алгоритмічною основою пропонованого методу є подання сигналу у вигляді розкладу по одному з ортонормованих дискретних функціональних базисів (Уолша, Хартлі, дискретного косинусного, вейвлет) з наступним обмеженням кількості коефіцієнтів розкладу, оптимізованим за критеріями мінімізації інформаційної відстані між переданим та отриманим сигналами і максимізації відношення «сигнал/шум».

Реалізація пропонованого методу включає наступні етапи: діджиталізація (оцифрування) оброблюваного дискретизованого інформаційного сигналу з відліками, отриманими у послідовні моменти часу; обмеження кількості коефіцієнтів розкладу (компресія сигналу з частковою втратою інформативності) з наступною реконструкцією квантованого сигналу; фазова модуляція оцифрованим сигналом несучого синусоїдального сигналу із заданою частотою та швидкістю передачі.

Визначення порогів обмеження множини коефіцієнтів розкладів діджіталізованих сигналів сформульовано у вигляді оптимізаційної задачі досягнення наперед заданих значень інформаційної відстані між переданим та демодульованим сигналами й відношення сигнальних енергій демодульованого сигналу і залишкового шуму.

Для оцифрування використано алгоритм Ллойда, який забезпечує мінімізацію помилки діджиталізації.

Встановлено, що при збільшенні кількості цифрових рівнів діджіталізації оптимальні значення інформаційної відстані між переданим та демодульованим сигналами збільшується при зменшенні відношення «сигнал/шум».

Узагальнення методу на багатовимірні сигнали реалізована шляхом редукції вимірності на основі розгортки Пеано-Гільберта

Зіставлення різних дискретизованих функціональних базисів як основи для реалізації пропонованого методу показало найбільшу ефективність за зазначеними критеріями вейвдет-базису Daubechies четвертого порядку.

Ключові слова: дискретизований сигнал, ортонормований дискретний функціональний базис, багатоспектральне зображення, відношення «сигнал/шум».

ПАРАМЕТРИЧНЕ КЕРУВАННЯ ГРАДІЄНТОМ РАДІУСА ГАУСІВСЬКО-МОДИФІКОВАНИХ ЦИКЛОЇДАЛЬНИХ ПРОФІЛІВ

2026-05-31T08:39:11+00:00

Стаття присвячена вирішенню актуальної задачі геометричного моделювання високоефективних носових частин засобів ураження та аерокосмічних об’єктів. Об’єктом дослідження є математичний процес формоутворення модифікованих циклоїдальних кривих, у якому реалізовано концепцію параметричного керування градієнтом радіуса шляхом інтеграції гаусівських функцій розподілу безпосередньо у структуру аналітичного опису базової твірної. У роботі удосконалено математичний апарат геометричного моделювання через введення спеціальних функцій нормалізації та коефіцієнтів масштабування. Запропонований підхід забезпечує незмінність повного перепаду радіуса при варіюванні параметрів гладкості. Основна увага приділена числовому дослідженню параметра середньоквадратичного відхилення σ як ключового чинника, що визначає інтенсивність та локалізацію зміни радіуса. Методологія дослідження базується на комплексному аналізі диференціальних характеристик синтезованих поверхонь. Шляхом побудови та візуалізації 3D-поверхонь логарифмічної кривини log|k(t)| та її градієнта в координатах «параметр модифікації – характеристика твірної» встановлено фізично обґрунтовані критичні межі значень σ. У ході числового експерименту виявлено, що надмірна концентрація градієнта радіуса, яка спостерігається при значеннях σ < 0.27, призводить до виникнення математичних аномалій та порушення умови монотонності кривини. З точки зору аеродинаміки такі геометричні ефекти є критичними, оскільки вони ініціюють передчасний відрив прикордонного шару та перехід від ламінарного до турбулентного обтікання. Встановлено, що діапазон
σ ∈ [0.27, 0.95] є найбільш валідним для аналітичного синтезу так званих «ламінарних» профілів. Такі профілі характеризуються стабільним розподілом геометричних параметрів та асимптотичною динамікою зміни кривини, що підтверджується відсутністю різких піків на поверхні градієнта кривини log|dk/dt|. Практична значущість отриманих результатів полягає у можливості їх впровадження в сучасні системи автоматизованого проєктування для прецизійного синтезу аеродинамічних поверхонь із заздалегідь визначеними властивостями обтікання. Визначені оптимальні параметри дозволяють конструктору гнучко «дозувати» гостроту носової частини, зберігаючи при цьому високу геометричну гладкість у зонах спряження з циліндричним корпусом апарата.

Ключові слова: геометричне моделювання, циклоїдальний профіль, гаусівська функція, градієнт радіуса, кривина поверхні, аеродинамічний обтікач, параметр середньоквадратичного відхилення, синтез поверхонь.

ОПТИМІЗАЦІЯ ВІЗУАЛІЗАЦІЇ ВЕЛИКИХ ТРАНЗАКЦІЙНИХ ГРАФІВ ДЛЯ ВИЯВЛЕННЯ ШАХРАЙСЬКИХ ПАТЕРНІВ НА ОСНОВІ СИЛОВИХ АЛГОРИТМІВ МАКЕТУВАННЯ

2026-05-31T08:39:40+00:00

У роботі досліджено проблему візуалізації великих транзакційних графів у задачах виявлення шахрайських операцій у фінансових системах. Актуальність теми обумовлена стрімким зростанням обсягів транзакційних даних та складністю їх структурної організації, що ускладнює як автоматичний аналіз, так і експертну інтерпретацію. Показано, що класичні силові алгоритми макетування при застосуванні до графів із сотнями тисяч вузлів і зв’язків не забезпечують необхідної швидкодії, що унеможливлює їх використання в інтерактивних системах візуальної аналітики.

Обґрунтовано доцільність розділення задачі на два рівні: попередню обробку графа та оптимізацію обчислення сил у процесі макетування. Запропоновано підхід, що поєднує фільтрацію малозначущих структурних елементів графа та топологічно обумовлену апроксимацію сил відштовхування. Ключовою ідеєю є заміна попарної взаємодії між вузлами на взаємодію з центрами мас зв’язних компонент, що дозволяє суттєво зменшити обчислювальну складність без критичної втрати якості візуалізації.

Проведено експериментальне дослідження на синтетичному датасеті SAML-D, який моделює транзакційні процеси з вбудованими сценаріями відмивання коштів. У ході експерименту оцінювались такі метрики, як час однієї ітерації, кількість ітерацій до досягнення заданого рівня якості (на основі показника збереження сусідства), а також візуальна якість розміщення. Отримані результати показали суттєве скорочення часу ітерації та загальної кількості ітерацій при незначній деградації точності відображення.

Доведено, що запропонований підхід забезпечує можливість інтерактивної роботи з великими графами та дозволяє зберігати ключові структурні патерни, такі як хаби та транзакційні ланцюги, що є критично важливими для задач фінансового моніторингу. Результати можуть бути використані при розробці систем візуальної аналітики для підтримки прийняття рішень у сфері AML.

Ключові слова: візуалізація графів, силові алгоритми, Fruchterman–Reingold, шахрайські транзакції, AML, транзакційні мережі.

ДОСЛІДЖЕННЯ ГЕОМЕТРІЇ ТА ФОРМОУТВОРЕННЯ АРОЧНИХ ЗУБЦІВ ЦИЛІНДРИЧНИХ ПЕРЕДАЧ НОВІКОВА

2026-05-31T08:40:43+00:00

Удосконалення зачеплення циліндричних зубчастих коліс з арочними зубцями є актуальним і недостатньо дослідженим науково-технічним напрямом, спрямованим на підвищення якості та навантажувальної здатності механізмів і машин, що застосовуються в різних галузях промисловості. Сучасний рівень розвитку комп’ютерних технологій, зокрема систем автоматизованого проєктування, створює передумови для проведення поглиблених досліджень, а також для розроблення точних методів аналізу, синтезу арочного зачеплення та технологій виготовлення арочних зубчастих коліс у промислових умовах. Загальним недоліком існуючих методів нарізання арочних зубців є необхідність застосування індивідуальних різцевих головок для обробки зубчастих коліс із різною формою лінії зміщення вихідного контуру. У ряді випадків виникає потреба використання окремих інструментів для формування опуклих, увігнутих, евольвентних та криволінійних перехідних поверхонь западин між арочними зубцями. Крім того, застосування таких різцевих головок не забезпечує можливості нарізання бочкоподібних арочних зубців з оптимальними поздовжніми профілями опуклої та увігнутої сторін, що істотно обмежує потенціал підвищення навантажувальної здатності арочного зачеплення. Зазначені технологічні обмеження значною мірою стримують широке впровадження арочних зубчастих передач у сучасному машинобудуванні. Зубчасті передачі Новікова набули поширення завдяки тому, що особливості їх геометрії дають змогу суттєво підвищити контактну міцність за інших рівних умов. Водночас ці передачі мають низку принципових недоліків. Основним із них є те, що передачі Новікова не належать до обкатних, унаслідок чого зубці повинні розташовуватися під певним кутом до твірної, відмінним від 0° та 90°. Наявність такого кута зумовлює виникнення осьової складової навантаження в зоні контакту. В евольвентних зубчастих передачах зазначений недолік традиційно усувався шляхом застосування шевронних коліс. На сучасному етапі розвитку зубчастих передач з’являються конструкції, що поєднують ознаки шевронних і звичайних зубчастих коліс. Це досягається завдяки зміні форми зубця вздовж його довжини з утворенням криволінійного зубця арочного типу, що створює передумови для більш ефективного використання переваг зачеплення Новікова та підвищення експлуатаційних характеристик зубчастих передач.

Ключові слова: геометрія поверхонь, зубчасті передачі Новікова, арочні зубці, метод обкатки, криволінійні поверхні.

ПІДХОДИ ДО ПАРСИНГУ НЕСТАНДАРТНО ОРГАНІЗОВАНИХ ГЕОМЕТРИЧНИХ ДАНИХ

2026-05-31T08:41:17+00:00

Статтю присвячено дослідженню проблеми структурного розриву між нестандартно організованими наборами геометричних даних та вимогами програмних інструментів статистичного аналізу. Здійснено огляд наукових джерел, дотичних темі роботи або суміжним напрямам. Описана у роботі методологія і підходи реалізовані на прикладі набору даних Canonical Polyhedra, що містить метричні та топологічні характеристики про 2907 багатогранників для середовища Wolfram Mathematica. Основною особливістю досліджуваного набору є його специфічна структура, а саме представлення просторових об’єктів не у вигляді традиційних таблиць, а у формі абстрактних синтаксичних дерев. У статті детально проаналізовано архітектуру набору: визначено основні вузли даних, а також виділено символьні математичні записи, що потенційно можуть викликати труднощі в парсингу. У наборі даних деякі характеристики геометричних фігур представлені не числовим, а символьним записом. Це забезпечує абсолютну математичну точність даних, проте робить їх непридатними для автоматизованих обчислень без попередньої трансформації. Таким чином, додатково обґрунтовано неспроможність аналізу набору за допомогою базових програмних бібліотек для роботи з даними. Основу методології дослідження складає практична розробка рекурсивного алгоритму парсингу на прикладі конкретного набору даних. Опис алгоритму подано в універсальному загальному вигляді, що робить його доступним для подальшого застосування серед ширшого кола питань. У роботі описано логіку обходження вузлів синтаксичного дерева, ідентифікацію їхніх заголовків і нормалізацію типів даних. Результатом такого підходу є перетворення абстрактного синтаксичного дерева у нормалізовану таблицю, придатну для подальшого статистичного аналізу. Практична значущість дослідження полягає у виділенні універсальних підходів до парсингу складних вкладених ієрархій даних, що часто є джерелом цінної інформації про просторові геометричні фігури для їхнього подальшого вивчення і застосування у галузях обчислювальної геометрії, машинного навчання тощо.

Ключові слова: набір даних, статистичний аналіз, парсинг, система комп’ютерної математики, багатогранник.

СПОСОБИ ПОБУДОВИ ДИСКРЕТНО ПРЕДСТАВЛЕНИХ ЕКВІДИСТАНТ ДЛЯ ОПТИМІЗАЦІЇ РОЗМІЩЕННЯ ФОРТИФІКАЦІЙНИХ СПОРУД

2026-05-31T08:41:49+00:00

Дане дослідження присвячено створенню алгоритму геометричного моделювання рівновіддалених кривих (еквідистант) у тих випадках, коли базову криву задано дискретно у вигляді координат окремих точок. Цей підхід має важливе значення для архітектурного та інженерного проектування, геоінформаційного аналізу, просторового моделювання та підвищення рівня ефективності оборонних технологій, що потребують визначення безпечних територій, буферних зон і функціонально оптимальних розташувань об’єктів оборонного призначення, зокрема фортифікаційних споруд. Особливо важливо, що в задачах оборонного призначення вихідні дані часто представлено дискретно, наприклад, у вигляді координат з систем спостереження, цифрових карт або геодезичних вимірювань.

Запропоновано два способи геометричного моделювання еквідистант у дискретному вигляді на заданій відстані від ребер базової дискретно представленої кривої (ДПК). Перший спосіб базується на визначенні вершин еквідистанти за рахунок перетину суміжних ребер еквідистанти, побудованих за допомогою перпендикулярів, відкладених на певну відстань від відповідних ребер базової ДПК. Другий спосіб передбачає задання параметра еквідистанти як відстань від вершини еквідистанти до середини ребра базової ДПК, що дозволяє одержати інший результат у вигляді координат вершин еквідистанти. Обидва методи дозволяють будувати як внутрішні, так і зовнішні еквідистанти.

Тестові приклади наочно демонструють побудову двох еквідистант на заданій відстані за обома способами, а також аналіз особливих точок еквідистанти при перевищенні параметра еквідистанти радіусу кривизни базової кривої, що включає точки звороту на еволюті та точку самоперетину еквідистанти.

Отримані результати демонструють дієвість запропонованих способів для моделювання геометричних об’єктів, зокрема у контексті визначення раціонального положення об’єктів оборонного призначення та просторового аналізу. Визначено перспективність подальших досліджень, спрямованих на удосконалення способів геометричного моделювання дискретно представлених еквідистант та оптимізацію обчислювальних алгоритмів для підвищення точності й ефективності.

Ключові слова: геометричне моделювання, еквідистанта, дискретно представлена крива, об’єкти оборонного призначення, фортифікаційні споруди.

ПРО ДЕЯКІ ВІДМІННОСТІ УТВОРЕННЯ, ПОЗНАЧЕННЯ І ОПЕРАЦІЙ МІЖ АЛГЕБРАЇЧНИМИ ТА КОМПОЗИЦІЙНИМИ МАТРИЦЯМИ

2026-05-31T08:42:28+00:00

Коротко сформульовано відмінності у призначеннях алгебраїчних та композиційних матриць, якими є, відповідно, операції над лінійними системами та аналітична формалізація дискретно поданих незакономірних геометричних об'єктів. Надається пояснення чому операції з алгебраїчними матрицями являють собою комбінації, а формалізація геометричних об'єктів підкорюється властивостям композиції.

Надано визначення композиційних матриць. Звертається увага на те, що аналітичне подання геометричних об'єктів традиційними методами здійснюється відносно наперед обраної системи координат і навпаки, у композиційному методі геометричного моделювання дискретні об'єкти аналітизуються відносно точок, що його визначають. Наголошується, що саме через це у композиційному методі рівняння геометричних об'єктів запропоновано називати – точковими рівняннями. Надано приклад утворення одновимірної компоматриці точкової, її загальне позначення, її позначення у поелементному та у покоординатних поданнях. Якщо у аналітичній геометрії для аналітизації геометричних об'єктів утворюються функції відносно оптимально обраної системи координат, то у композиційній геометрії аналітичні форми геометричних об'єктів утворюються із застосуванням характеристичних функцій, утворених відносно самого об'єкту. Вказується, що у наших дослідженнях розглядаються два способи параметризації – уздовж супровідні ламаної лінії вихідної кривої та покоординатна. На основі обчислених значень параметрів для кожної точки утворюються характеристичні функції, з яких складаються компоматриці параметричні, що за розміром та розташуванням елементів збігаються з попередньо створеними компоматрицями точковими. Такий збіг є природнім через те, що обидві компоматриці створюються для однієї кривої лінії.

Показано яким чином через добуток компоматриць точкової та параметричної утворюється компоматриця кривої лінії як геометричної фігури. Показується відмінність алгоритмів множення композиційних матриць та множення алгебраїчних матриць. Вказується на те, що множення компоматриць є безвідносним щодо вихідної системи координат. І навпаки, множення алгебраїчних матриць виникає в результаті геометричних перетворень зі зміною вихідної системи координат, тобто множення алгебраїчних матриць являє собою результат перенесення системи координат. Показано яким чином із композиційної матриці кривої лінії здійснюється перехід до точкового поліному, що неперервно описує вихідний дискретний точковий ряд.

Ключові слова: композиційні матриці, компоматриці точкові, компоматриці параметричні, компоматриця кривої лінії, характеристичні функції, множення компоматриць, точковий поліном кривої лінії.

ДЕЯКІ КРИВІ У ПОЛЯРНІЙ СИСТЕМІ КООРДИНАТ, ОПИСАНІ У ФУНКЦІЇ НАТУРАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА

2026-05-31T08:42:57+00:00

Аналітичний опис кривих у функції довжини їх дуги, тобто у функції натурального параметра, має принципове значення. Довжина дуги є внутрішньою характеристикою кривої разом із її натуральним рівнянням, яке описує залежність кривини від її довжини. Натуральне рівняння повністю задає плоску криву незалежно від її розміщення в системі координат. Для просторових кривих для їх визначення додатково необхідно мати залежність скруту від довжини дуги. Якщо одна залежність для плоскої кривої або дві для просторової задані, це ще не означає можливість побудови самої кривої. Це викликано розв’язуванням диференціальних рівнянь, які, як правило, потребують чисельних методів інтегрування. Але якщо є параметричні рівняння з незалежною змінною – довжиною дуги, то залежності кривини і скруту завжди можна знайти. Опис кривої у функції натурального параметра зручно використовувати у механіці, теорії руху частинок, робототехніці та застосуванні фундаментальних формул Френе у диференціальній геометрії.

Окремий клас кривих – криві, описані в полярній системі координат. Як правило, в ній описуються різні спіралі. Однак багато із них не можна описати через натуральний параметр. До них відносяться спіралі Архімеда, Галілея, Ферма та інші. В статті проведено дослідження спіралей і інших кривих, які описуються в полярній системі координат і при цьому їх незалежною змінною є натуральний параметр. При традиційному описі кривих у полярній системі незалежною змінною є полярний кут. В даному дослідженні полярний кут, як і радіус-вектор, є функціями довжини дуги кривої. Для знаходження однієї функції іншу потрібно задати. Це призводить до розв’язування диференціального рівняння або часткового випадку – інтегрування відповідного виразу.

Показано, що у логарифмічної спіралі величина радіус-вектора прямо пропорціональна довжині її дуги, а також знайдено спіраль із обернено пропорціональною залежністю.

Ключові слова: спіралі, радіус-вектор, полярний кут, натуральний параметр, диференціальне рівняння.

МАТЕМАТИЧНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ОБРОБКИ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ДАНИХ У ВИЗНАЧЕННІ ПАРАМЕТРІВ НЕДОСТУПНОЇ ТОЧКИ ОБ'ЄКТА БУДІВНИЦТВА

2026-05-31T08:43:27+00:00

У статті розглянуто проблему визначення параметрів недоступних точок об’єктів будівництва на основі обробки експериментальних геодезичних даних. Актуальність дослідження зумовлена необхідністю автоматизованого отримання геометричних параметрів будівель і споруд під час реконструкції, реставрації та створення інформаційних моделей об’єктів будівництва в умовах впровадження BIM-технологій і переходу до параметричного нормування. Особливої важливості ця задача набуває під час обстеження об’єктів культурної спадщини та аварійних споруд, де прямий доступ до окремих конструктивних елементів є неможливим або небезпечним.

Проаналізовано недоліки класичних геометричних моделей, які базуються на використанні пересічних візирних променів. Показано, що в реальних умовах через похибки вимірювань такі промені стають мимобіжними, що призводить до неоднозначності результатів та появи значної кількості можливих варіантів координат визначуваної точки. Для усунення зазначеного протиріччя запропоновано комбіновану тривимірну геометричну модель, яка враховує найбільш загальні умови розташування досліджуваного об’єкта відносно геодезичного обладнання та дозволяє визначати параметри точок, розташованих вище, нижче або на рівні нульової горизонтальної площини.

Розроблено математичне забезпечення обробки експериментальних даних, основу якого становить оптимізаційний підхід до визначення координат недоступних точок. Задачу зведено до пошуку мінімальної відстані між мимобіжними прямими, що відповідають візирним променям, із подальшим розв’язанням системи рівнянь методом Крамера. Запропоновано структуру математико-алгоритмічного забезпечення, яка включає сім взаємопов’язаних блоків: визначення координат вихідних точок, розрахунок областей локалізації недоступних точок, обчислення координат і цільових параметрів, оцінювання абсолютних і відносних похибок, адаптивне коригування параметрів вимірювань та реєстрацію результатів. Особливістю розробленого алгоритму є можливість адаптивного керування похибкою шляхом уточнення кутових параметрів у межах допустимих похибок вимірювань.

Наведено приклад застосування розробленого математичного забезпечення для визначення координат двох недоступних точок, розташованих на одному перпендикулярі до горизонтальної площини. Отримані результати підтверджують універсальність, стійкість та однозначність запропонованого підходу порівняно з традиційними методами. Практична цінність дослідження полягає у створенні теоретичного підґрунтя для автоматизації геодезичних вимірювань, інтеграції результатів у CAD/BIM-системи та підтримки сучасних процесів цифрової трансформації будівельної галузі.

Ключові слова: об'єкт будівництва; недоступна точка; комбінована геометрична модель; мимобіжні візирні промені; математичне забезпечення; оптимізаційний підхід; адаптивний алгоритм; BIM.

СУМАРНА ЗА ДЕНЬ ОСВІТЛЕНІСТЬ НАХИЛЕНИХ ПІД ТУПИМ КУТОМ ДО ПЛОЩИНИ ГОРИЗОНТУ ПЛОЩИН ВІД РІЗНИХ ТИПІВ НЕБОЗВОДІВ

2026-05-31T08:43:56+00:00

В статті показані графіки сумарної за день освітленості нахилених під тупим кутом до площини горизонту площин від різних типів небозводів, наведених в ДСТУ ISO 15469:2008. «Розподіл яскравості денного світла просторовий. Стандартне хмарне та безхмарне небо згідно з CIE (ISO 15469:2004, IDT)», створеного на основі закордонного аналогу CIE S 011/E:2003 (ISO 15469:2004(E). «Spatial distribution of daylight – CIE standard general sky». В стандартах розглядаються 15-ть математичних моделей типів небозводів, які є вихідною інформацією для моделювання природної освітленості та інших характеристик світлового поля.

Для розрахунку експозиції нахиленої під тупим кутом до площини горизонту площини були обрані 79-й день року (20 березня), 172-й день року (21 червня) та 355-й день року (21 грудня). Обчислення проводилися для широти міста Рівне (50,623^o пн. ш.).

Орієнтація площин відносно сторін світу задавалася з кроком 10 градусів. Кут нахилу площин для кожного розташування відносно сторін світу задавався в межах від 90⁰ до 170⁰ також з кроком 10 градусів. Для кожної площини тривалість сонячного дня від сходу до заходу Сонця для кожного з обраних днів року була поділена на 30 рівних інтервалів і, відповідно, 31 момент сонячного часу, на межах яких обчислювалась освітленість для всіх 15-ти математичних моделей небозводу. Таким чином були отримані дискретно представлені криві залежності освітленості нахиленої під тупим кутом до площини горизонту площини від сонячного часу. Далі дискретні значення освітленості інтерполювалися кубічними сплайнами з метою інтегрування по сонячному часу, що дозволило отримати сумарну за день освітленість (експозицію).

У статті продемонстровані результати лише для трьох характерних типів небозводів: 5-го, 8-го і 15-го.

Інформація щодо сумарної за день освітленості нахиленої під тупим кутом площини для даного типу небозводу, характерного для певної місцевості, дозволяє оцінювати ресурси природної освітленості, визначити критичну зовнішню освітленість, раціонально використовувати штучне освітлення, заощаджуючи на ньому.

Ключові слова: експозиція, критична зовнішня освітленість, природна освітленість, освітленість площини, сонячний час, тип небозводу.

ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРИ ВИРІШЕННІ ДЕЯКИХ ЗАДАЧ В УМОВАХ ВОЄННОГО СТАНУ

2026-05-31T08:44:26+00:00

В умовах воєнного стану існують деякі задачі геометричного моделювання просторово розподілених об’єктів, насамперед, впроваджуються та здійснюються заходи правового режиму воєнного стану, оборони об’єктів цивільного захисту, громадської безпеки і порядку, захисту критичної інфраструктури, охорони прав, свобод і законних інтересів громадян.

У роботі розглядається визначення можливих втрат людей у секторах враження в результаті дій безпілотних систем, засобів повітряного нападу. Можливі втрати населення, особого составу формувань цивільної оборони залежать від багатьох факторів: чисельності людей в секторах враження, ступеня поінформованості про наближення небезпеки, ступеня захищенності, наявності укриття та його стану. Кількість населення, яке може опинитися в секторі враження розраховується по його наявності на певних територіях об’єктів, промислових майданчиках, житлових кварталів міст, населенних пунктів, опираючись на бази даних. Відповідно сектору враження із запропонованими такими термінами рівня небезпеки, як незворотньо-критичний, критичний та вражаючий, розраховуються можливі втрати з наступними наслідками – критично-незворотними, з середним і тяжким ступенєм враження та легким ступенєм враження.

Стаття вказує, що достатньо легко можна розрахувати можливі втрати засобами двовимірного просторового аналізу інструментальних геоінформаційних систем. Міста, населені пункти, окремі побудови існують на електронних картах у вигляді умовних позначень, апроксимуються полігональними об’єктами – плоскими геометричними фігурами, які обмежені замкнененою полілінією на різних електронних картах. Запропоновано використати розрахунок щільності населення по кожному населенному пункту, врахувавши площу території – площу полігона, чисельність населення по пунктам. У результаті прогнозу можливого враження багатоповерхових новобудов, промислових об’єктів, навчальних закладів, медичних центрів, складів з небезпечною речовиною та інших, які є деяким геометричним об’єктом – полігоном, котрий у загальному випадку можна поділити на три непересічних полігона – незворотньо-критичний, критичний та вражаючий. Розрахунок можливої кількості населення в секторах з незворотньо-критичним, критичним та вражаючим рівнєм небезпеки, у разі необхідності, забезпечує своєчасні допомогу та захист.

Ключові слова: населення; площа території; геометричний об’єкт; сектор враження; небезпека; база даних; електронна карта.

МОДЕЛЬ АДАПТИВНОЇ СИСТЕМИ ЕФЕКТІВ РУЙНУВАННЯ МАТЕРІАЛІВ ПРИ СТВОРЕННІ ІГРОВОГО СЕРЕДОВИЩА НА БАЗІ UNREAL ENGINE

2026-05-31T08:44:53+00:00

В роботі досліджується актуальна тема, що зумовлена зростаючими вимогами до візуальної якості та продуктивності в інтерактивних середовищах. У сучасному геймдеві важливо забезпечити правдоподібність фізичних процесів – зокрема, ефектів руйнування – без перевищення обчислювального бюджету кадру. Надмірне навантаження на систему призводить до зниження FPS, що критично для ігрового досвіду. Об’єктом дослідження є інтерактивне 3D-середовище з динамічними ефектами. Предметом дослідження є методи моделювання, симуляції та оптимізації ефектів руйнування в рушії Unreal Engine 5 [1]. Наукова новизна роботи полягає в створенні математичної моделі для оцінки обчислювальної складності візуальних ефектів та її інтеграції у рушій Unreal Engine для забезпечення продуктивності при високій візуальній якості.

Практичне значення дослідження визначається питаннями реалістичності й фізичної правдоподібності ігрових світів, що набуває особливої ваги. Гравці очікують не лише красиву графіку, але й правдоподібну поведінку середовища, у якому вони взаємодіють. Один із ключових елементів цієї взаємодії – руйнування об'єктів: чи то розбита скляна вітрина, проламана дерев’яна дошка, або уламки після вибуху. Відображення фізичних властивостей матеріалів у реальному часі – складне технічне завдання, особливо коли мова йде про інтерактивність, тобто можливість гравця безпосередньо впливати на руйнування об'єктів. Це включає як візуальні, так і фізичні наслідки: анімацію розлому, появу уламків, частинок, зміну геометрії об'єкта та його стану у грі. У реальному світі руйнування – результат перевищення меж міцності матеріалу. У віртуальному – це необхідність імітувати це перевищення швидко, переконливо, і без втрат у продуктивності. З огляду на високі обчислювальні витрати, що пов'язані з симуляцією фізики, у більшості випадків потрібен компроміс між точністю моделювання та швидкодією. Особливо це критично для складних сцен з великою кількістю динамічних об’єктів, як у бойових або екшен-іграх.. Результатом дослідження стала реалізація системи адаптивного керування ефектами руйнування з урахуванням обмежень реального часу, а також створення повноцінного віртуального середовища із 3D-персонажем, сценами та візуальними ефектами, виконаними у Blender [2] і Unreal Engine [3].

Ключові слова: Unreal Engine 5, ефекти руйнування, геймдизайн, тривимірне моделювання, математична модель, Niagara

ДО ПИТАННЯ ПІДВИЩЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ АРХІТЕКТУРНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ПРАВОСЛАВНИХ КАПЛИЦЬ

2026-05-31T08:45:21+00:00

Сучасний етап існування України є важким історичним періодом, який пов’язаний із тривалими воєнними діями на її території. Акцентовані умови спричиняють тяжкі наслідки не тільки у вигляді загибелі великого числа людей, їх каліцтва, а й руйнування багатьох будівель і споруд, у тому числі сакральних об’єктів. В окреслених скрутних обставинах усе частіше громадяни нашої держави, серед яких більшість становлять православні християни, звертаються за підтримкою до всевишніх сил. Через обмежені наявні матеріальні й фінансові спроможності парафіян нині популярне зведення не великих храмів, а маленьких каплиць. Останні розташовуються у святих місцях, на перехрестях доріг, біля цілющих джерел, у лікарнях, закладах освіти, військових містечках, парках та скверах, на кладовищах і т. д. Зараз доволі розповсюдженими стають меморіальні каплиці на згадку про полеглих у боях воїнів та загиблих мирних людей.

Відомо, що православ’я характеризується жорсткими вимогами стосовно потреби дотримання архітектурних канонів для культових будівель. З іншого боку, бажаною вважається висока індивідуальність, оригінальність та естетична привабливість зазначених об’єктів. Наведену суперечність автором цієї публікації пропонується долати шляхом використання методології структурно-параметричного геометричного моделювання в середовищі BIM (Building Information Modelling) технологій. Застосування вказаних засобів дозволяє значно підвищувати якість багатьох будівель, зменшувати витрати під час їх розробляння, спорудження та експлуатації, тобто протягом усього життєвого циклу даних об’єктів. Викладені у статті прийоми структурно-параметричного варіантного моделювання забезпечують належну різноманітність архітектурного формоутворення, яку проілюстровано на прикладі каплиць. Напрацьована методика, в разі необхідності, за аналогією може бути розповсюджена не тільки на православні храми, а й культові будівлі решти християнських конфесій, поширених в Україні, а також, навіть, інших релігій. Однак, це потребує проведення подальших наукових досліджень з розглянутої тематики.

Ключові слова: автоматизоване проєктування, BIM-технології, архітектурне формоутворення, структурно-параметричне геометричне моделювання, православні каплиці.

МОДЕЛЮВАННЯ РУХУ БЕТОННОЇ СУМІШІ НА ПОВЕРХНЯХ МОНОЛІТНИХ КОНСТРУКЦІЙ

2026-05-31T08:45:50+00:00

У цій статті розглядається проблема рівномірного розподілу бетонної суміші під час формування монолітних конструкцій на похилих та криволінійних поверхнях. Актуальність дослідження обумовлена зростаючим використанням оболонкових, купольних та просторових конструкцій у сучасному будівництві, де бетонування виконується на поверхнях зі значним нахилом та змінною кривизною. За таких умов поведінка бетонної суміші суттєво відрізняється від тієї, що спостерігається в горизонтальних конструкціях монолітних просторових покриттів. Це призводить до потенційних дефектів, пов'язаних з нерівномірним розподілом матеріалу по поверхні споруд.

На ранніх стадіях твердіння бетонна суміш моделюється як в'язкопластичний матеріал типу Бінгама, що характеризується межею текучості та пластичною в'язкістю. На основі принципів механіки суцільного середовища аналізуються умови початку течії під дією сили тяжіння на похилі поверхні. Виведено аналітичні вирази, що описують розподіл напружень зсуву та профілів швидкості всередині бетонного шару, що дозволяє визначити критичні умови переходу від твердоподібного до текучого стану.

Особлива увага приділяється узагальненню класичної моделі течії для криволінійних оболонкових поверхонь. Для досягнення цієї мети використовується математичний апарат диференціальної геометрії, що дозволяє враховувати локальні кути нахилу, головні кривини та зміни напрямку сили тяжіння вздовж поверхні. Показано, що умови стійкості бетонного шару визначаються локальними геометричними характеристиками оболонки.

Запропонована модель забезпечує теоретичну основу для оцінки стійкості бетонних сумішей на складних поверхнях і може бути застосована для оптимізації технологій бетонування при будівництві монолітних оболонкових конструкцій. Результати сприяють покращенню якості конструкцій та зменшенню ризику дефектів, пов'язаних з нерівномірним розподілом матеріалу. Отримані результати можуть бути використані для розроблення рекомендацій щодо підбору складу суміші, режимів укладання та контролю якості бетонування в реальних умовах будівельного майданчика.

Ключові слова: бетонна суміш, в’язкопластичні матеріали, реологія бетону, оболонкові конструкції, криволінійні поверхні, диференціальна геометрія оболонок.

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ ПРУЖНОГО ЗГИНАННЯ ЛИСТОВОГО МЕТАЛУ ЗА ДОПОМОГОЮ ВАЛКІВ

2026-05-31T08:46:18+00:00

Статтю присвячено розв’язанню актуальної науково-технічної задачі - розробці математичного апарату для точного налаштування вальцювального обладнання при виготовленні конічних деталей із листового металу з урахуванням ефекту пружинення. Процес згинання листового матеріалу є одним із найбільш поширених методів формоутворення в машинобудуванні, проте його точність суттєво обмежена властивостями пружного відновлення форми заготовки після зняття навантаження. У роботі детально проаналізовано відмінності між вальцюванням циліндричних та конічних поверхонь, акцентовано увагу на необхідності узгодження геометричних параметрів формуючих валків та розгортки заготовки.

Наукова новизна дослідження полягає у застосуванні методів диференціальної геометрії та сферичної тригонометрії для опису деформації розгортних поверхонь. Автором обґрунтовано використання концепції «фіктивного конуса», параметри якого (фіктивна нормальна кривина та фіктивний кут при вершині) розраховуються на основі показника пружинення матеріалу. Математично доведено, що при згинанні геодезична кривина лінії на поверхні залишається незмінною, що дозволило вивести систему рівнянь для визначення параметрів налаштування середнього валка.

У статті представлено параметричні рівняння фіктивного конуса та запропоновано методику переходу від лінійних до кутових розмірів за допомогою сфери одиничного радіуса. Це дає змогу визначити точне просторове положення верхнього формуючого валка через кут повороту його осі. Практична значущість роботи підтверджена конкретними прикладами розрахунку для різних конфігурацій валків, що ілюструють можливість отримання ідентичних деталей при різних налаштуваннях обладнання. Запропоновані залежності дозволяють не лише автоматизувати процес проєктування заготовок у вигляді плоских кілець, а й суттєво підвищити якість готових виробів за рахунок упередженого згинання. Результати дослідження можуть бути впроваджені на підприємствах, що використовують листозгинальні машини для виробництва складнопрофільних деталей.

Ключові слова: математичне моделювання, пружне згинання, листовий метал, вальцювання, конічні деталі, ефект пружинення, фіктивний конус.

ГЕНЕРАЦІЯ КОМПОЗИЦІЙНИХ СІТОК НА ОСНОВІ ФРАКТАЛЬНИХ СТРУКТУР І РЕКУРЕНТНИХ МОДЕЛЕЙ

2026-05-31T08:46:48+00:00

У статті розв’язано науково‑практичне завдання формалізації та автоматизації процесу побудови складних композиційних структур для цифрового дизайну. Об’єктом дослідження є процеси генерації композиційних сіток, а предметом – математичні моделі на основі фрактальних структур та рекурентних алгоритмів. Метою роботи є розробка та програмна реалізація методів автоматизованої генерації дев’яти типів сіток (зокрема фрактальних, стохастичних та ітеративних) для підвищення варіативності та обґрунтованості дизайнерських рішень. У ході дослідження використано методи математичного моделювання, теорії фракталів та алгоритмічного проєктування. Наукова новизна полягає в інтегрованому підході до параметризації фрактальних і рекурентних структур (килим Серпінського, бінарне розбиття, золотий перетин тощо) для потреб композиційного макетування, а також у визначенні формальних критеріїв їхньої придатності (щільність, симетрія, масштабованість). Доведено, що використання ітераційних моделей, таких як Quadtree та Binary Split, дозволяє досягти оптимального балансу між візуальною складністю та функціональною логікою інтерфейсу. Практичне значення результатів підтверджено розробкою спеціалізованого плагіна для середовища Figma (TypeScript, Figma Plugin API), який дозволяє автоматизувати створення адаптивних макетів і суттєво скорочує час підготовки первинних композиційних рішень у професійній діяльності UI/UX‑дизайнерів.

Дослідження підкреслює актуальність поєднання теоретичних досягнень математичного моделювання з практичним інструментарієм дизайнера. Запропоновані алгоритми забезпечують системний підхід до побудови композиційних структур, що виходить за межі інтуїтивних або стандартних модульних рішень. У дослідженні запропоновано формалізовані критерії оцінки придатності моделей, які створюють основу для обґрунтованого вибору оптимальної сітки залежно від функціонального призначення інтерфейсу та динамічності контенту. Проведений аналіз продемонстрував переваги фрактальних структур у створенні ієрархічних систем, що зберігають цілісність при масштабуванні. Реалізація у вигляді плагіна демонструє можливість інтеграції складних математичних структур у щоденну практику, забезпечуючи гармонійність пропорцій та гнучкість адаптації до контенту різної щільності. Отримані результати відкривають перспективи розширення бібліотеки генераторів, оптимізації алгоритмів для роботи з великими даними та інтеграції з інтелектуальними системами підтримки дизайнерських процесів, що формує підґрунтя для подальшого розвитку методів генеративного дизайну в сучасних цифрових середовищах.

Ключові слова: композиційні сітки, фрактальні структури, рекурентні алгоритми, генеративний дизайн, автоматизація проектування, Figma API, стохастичне розбиття, дерево квадрантів (quadtree), золотий перетин, килим Серпінського, UI/UX дизайн.

ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИСКРЕТНО ЗАДАНИХ КРИВИХ: СТАН ПРОБЛЕМИ ТА МЕТОДИ РОЗВЯЗАННЯ

2026-05-31T08:47:16+00:00

У статті розглянуто сучасний стан досліджень у галузі геометричного моделювання дискретно заданих кривих та виконано огляд основних підходів до розв’язання задач їх інтерполяції, апроксимації та відновлення. Актуальність дослідження зумовлена широким використанням дискретно представлених даних у сучасних інформаційних технологіях, комп’ютерній графіці, автоматизованому проєктуванні, цифровій обробці зображень, системах підтримки прийняття рішень, логістичних задачах та інших прикладних сферах. У більшості практичних застосувань вихідна інформація подається у вигляді набору дискретних точок, які характеризують форму об’єкта, траєкторію процесу або результати експериментальних спостережень. У зв’язку з цим побудова адекватних математичних моделей, що забезпечують відновлення та аналіз геометричних залежностей, є важливим напрямом сучасних наукових досліджень.

У роботі проаналізовано основні способи математичного представлення кривих, серед яких явне, неявне та параметричне задання. Розглянуто геометричні характеристики кривих, зокрема дотичну, кривину та довжину дуги, які широко використовуються під час дослідження форми геометричних об’єктів і побудови інтерполяційних моделей. Наведено класифікацію кривих за способом представлення та рівнем гладкості, що визначається класами неперервності та є важливою характеристикою під час розроблення алгоритмів геометричного моделювання.

Виконано змістовний огляд сучасних методів моделювання дискретно заданих кривих. Розглянуто інтерполяційні, апроксимаційні та варіаційні підходи, а також особливості їх практичного застосування. Проаналізовано методи глобальної поліноміальної інтерполяції, сплайнові технології, криві Безьє, B-сплайни, NURBS-моделі, методи рухомих найменших квадратів та підроздільні (subdivision) схеми. Для кожного з підходів наведено їх характерні особливості, переваги та обмеження, які необхідно враховувати залежно від специфіки поставленої задачі та властивостей вихідних даних.

Особливу увагу приділено задачам неперервної та дискретної інтерполяції. Наведено математичні постановки відповідних задач та розглянуто особливості побудови інтерполяційних кривих із використанням поліномів Лагранжа, кубічних сплайнів, сплайнів Ерміта та схем Катмулла–Рома. Проаналізовано підходи до забезпечення гладкості, геометричної узгодженості та локального контролю форми кривих. Окремо розглянуто алгоритм Чайкіна та підроздільні схеми, які застосовуються для згладжування полігональних ліній і побудови гладких граничних кривих шляхом послідовного уточнення початкових даних.

Основним результатом роботи є систематизація сучасних методів геометричного моделювання дискретно заданих кривих, узагальнення їх математичних основ, аналіз особливостей застосування, переваг та обмежень, а також визначення актуальних напрямів подальших досліджень. Проведений аналіз підтверджує доцільність розвитку нових підходів до геометричного моделювання, спрямованих на поєднання високої точності, гладкості, локальної адаптивності та обчислювальної ефективності при розв’язанні задач інтерполяції та відновлення дискретно представлених кривих.

Ключові слова: математичне моделювання, чисельні методи, інтерполяція, апроксимація, екстраполяція, геометричне моделювання.