АЛГОРИТМІЧНІ-ПРОГРАМНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ДЛЯ ВИКОРИСТАННЯ КУБІЧНИХ СПЛАЙНІВ ПРИ ВІДНОВЛЕННЯ ФУНКЦІОНАЛЬНОЇ ЗАЛЕЖНО У РАЗІ ГРАНИЧНИХ УМОВ ДЛЯ ПЕРШИХ ПОХІДНИХ

Анотація

Робота присвячена створенню кубічного сплайна S(x), який забезпечує відновлення функціональної залежності Y(x) при завданні умов для першої похідної функції на кордонах її визначення. Передбачається, що функція Y(x) неперервна, має безперервними першої і другої похідними на відрізку [a,b], а в вузлових точках x₀=a,x₁,x₂,...,x_n=b приймає відомі значення, рівні, відповідно , y₀,y₁,y₂,... y_n, k=0,1,2,...,n. Сплайн представляється у вигляді n багаточленів не вище третього порядку. Завдання зводиться до знаходження 4n невідомих коефіцієнтів сплайна. Для їх визначення сформована система з 4n-2 рівнянь: 2n рівнянь, які враховують значення функції у вузлових точках, n-1 рівнянь, що відображають безперервність першої похідної і n-1 рівнянь, що відображають безперервність другої похідної на кордонах сусідніх многочленів, а також дві умови, що відносяться до значень першої похідної на кордонах функції. Рішення завдання методом прогонки дозволило розробити алгоритмічне-програмне забезпечення для побудови відповідного кубічного сплайна S(x) в разі безперервної функції Y(x) з безперервними першої і другої похідними на відрізку [a,b] з заданими значеннями першої похідної на його кордонах. Запропоновано схему для реалізації рішення на алгоритмічній мові. Розроблено програму Scype в оболонці Microsoft Visual Studio з використанням мови С++. Величина помилки відновлення функції з використанням запропонованої схеми вивчалася на прикладі функції Y(x)=sin(x). Результати тестування показали, що відносна точність інтерполяції при кількості вузлових точок n=10 на відрізку [0,π/2] становила в середньому близько 1.4 •10^-3. Максимальна точність виявлена на першому інтервалі: (0.4-0.9)10^-3. Мінімальна точність зафіксована на початку другого і останнього десятого інтервалу: (4-6)10^-2. Збільшення числа вузлів до 10², 10³ і 10⁴ призводило до підвищення середньої відносної точності до 1•10^-5, 1•10^-7 і 2•10^-9, відповідно. Отримані дані можуть бути використані для інтерполяції функцій і обробки експериментальних даних.

Ключові слова: алгоритм відновлення функції, інтерполяційнийний поліном, інтерполяція, кубічний сплайн.