ПОБУДОВА СІМ'Ї ПЛОСКИХ КРИВИХ ЗА РІВНЯННЯМИ ІЗОМЕТРИЧНИХ СІТОК

Анотація

В статті розкрито аналітичний опис формування сімей ортогональних плоских кривих ліній у неявному вигляді на основі аналізу параметричного рівняння плоскої ізометричної сітки, побудованої відокремленням дійсної та уявної частин функції комплексної змінної. Така постановка задач обумовлена тим, що плоскі ізометричні сітки, як дві сім’ї ортогональних координатних ліній з квадратними комірками, використовуються в конформних відображення, наприклад, при нанесенні зображень на криволінійні поверхні з найменшими спотвореннями. В той же час, сім’ї плоских паралельних ліній широко застосовують в геометричному моделюванні теплопереносу, електричних полів, течії рідини тощо. Між цими геометричними образами є певний зв’язок, пояснення якого здійснюється на конкретних прикладах. Аналітичні викладки виведення параметричного рівняння ізометричної сітки є досить трудомісткими, тому їх виконання здійснюється в середовищі символьної алгебри Maple. З цією метою було створено відповідне програмне забезпечення інтерактивної моделі виведення параметричних рівнянь ізометричних сіток для будь-якої вихідної функції комплексної змінної з наступним відокремленням дійсної та уявної її частин. Було виявлено, що значення абсцис та ординат параметричного рівняння плоскої ізометричної сітки можна представити у вигляді явних рівнянь поверхонь. Для цілих значень степеня показникової функції комплексної змінної значення абсцис та ординат будуть представлятися алгебраїчними поверхнями у явному вигляді. Проекції перерізів поверхонь абсцис та ординат горизонтальними січними площинами на горизонтальну площину формують дві сім’ї кривих ліній, рівняння яких можна отримати тільки у неявному вигляді. На прикладі квадратичної функції комплексної змінної доведено, що ці сім’ї ліній є взаємоперпендикулярними. В залежності від складності функції змінної, сім’ї ліній можуть мати різноманітні форми. Показано практичне застосування побудови сім’ї ліній для геометричного моделювання ліній потоку рідини, які обтікають перепону у вигляді півкола.

Ключові слова: ізометричні сітки, функції комплексної змінної, сім’ї ортогональних ліній, геометричне моделювання потоку.