АНАЛІЗ ПОГРІШНОСТІ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ БЕЗПЕРЕРВНОЇ ФУНКЦІЙ З НЕВІДОМИМИ БЕЗПЕРЕРВНИМИ ПОХІДНИМИ ЗА ДОПОМОГОЮ КУБІЧНИХ СПЛАЙНІВ

Анотація

Розроблена методика визначення погрішності s_k^(d) інтерполяції функції кубічним сплайном у разі невідомої четвертої похідної. Показано, що значення s_k^(d) на k- м інтервалі рівне h|d_k|/6, де h - величина інтервалу, d_k - коефіцієнти многочленів сплайна при змінній в третьому ступені. Алгоритм обчислення коефіцієнтів сплайна припускає виконання наступних умов: відновлювана функція є безперервною і має безперервні першою і другою похідними, на межах відновлюваної функції задані перші похідні, друга похідна на правій межі дорівнює нулю. У разі невідомих перших похідних на межах передбачена можливість їх обчислення з використанням значень функції у вузлових точках. Тестування пропонованого методу проводилося на монотонних функціях sin(πх/2), (1-exp(-x))/(1-exp(-1)), log(1+х)/log(2)log(1+х)/log(2), (2x+x²+x³+x⁴)/5, що не мають перегинів і екстремальних точок на відрізку [0,1]. Середнє квадратичне відхилення значень відновленої функції sin(πх/2) від сплайна з трьох многочленів, рівне s=0.92·10^-2, добре узгоджується з погрішністю, розрахованою з пропонованим методом і рівною s_k^(d)=1.3·10^-2. Підвищення кількості вузлів до 10³ і більше забезпечує точність інтерполяції до 10^-7 і вище. У усіх випадках величина s_k^(d) добре узгоджується з точним значенням s. Аналогічна ситуація спостерігається для багатьох монотонно убуваючих або зростаючих функцій, що не мають перегинів і екстремальних точок. При відновленні будь-яких функціональних залежностей рекомендується розбивати досліджуваний відрізок на такі інтервали, де функції не мають перегинів і екстремальних точок.

 Ключові слова: відновлення функції, інтерполяційний поліном, інтерполяція, кубічний сплайн, погрішність інтерполяції, функція.