ПОБУДОВА ЗАМКНЕНИХ ГЛАДКИХ КРИВИХ ІНТЕРПОЛЯЦІЙНИМ ПОЛІНОМОМ ГАУСА

Анотація

У статті розглядаються перспективи використання специфічного типу гаусової поліноміальної функції для реконструкції неперервної та регулярної поверхні її хмарою точок.

Відновлення кривих і поверхонь за їх хмарою точок є важливою підпроблемою для встановлення технічних поверхонь за їх формою за допомогою 3D-сканування. Також аналогічна проблема виникає при перетворенні поверхонь з граничного представлення в трикутну сітку. Для останніх критично важливо відновити орієнтацію поверхні, якщо вихідні дані не містять такої інформації, або містять неправдиві відомості.

Гаусівський інтерполяційний многочлен прямує йде до нуля, коли його аргумент прямує до плюс- і мінус-нескінченності при будь-якій конфігурації інтерполяційних точок. Таким чином, якщо в тривимірному просторі ми визначаємо поверхню облака точок, як ізоповерхню імпліцитної функції з позитивним значенням, наприклад, 1, і вважатимемо зовнішньою орієнтацію поверхні простір, в якому значення імпліцитної функції менші за одиницю, то поверхня, побудована узагальненим інтерполяційним многочленом Гауса, завжди буде орієнтованою правильно. Тобто простір, обмежений поверхнею, завжди буде замкненим і це замикання буде містити внутрішню сторону поверхні. При тому, сама ізоповерхня буде неперервною за всіма частковими похідними а значить і регулярною, адже Гаусіани, з яких складається поліном, диференцюються нескінченно.

 Незважаючи на ці корисні властивості, саме інтерполяційний многочлен Гауса дотепер при відновленні кривих на основі хмари точок не використовувався. Отже метою даного дослідження є оцінка перспектив практичного застосування інтерполяції Гауса в контексті відновлення кривих і поверхонь за їх хмарами точок.

Адже мета такого застосування полягає не стільки в отриманні правильних диференціальних властивостей результуючих кривих і поверхонь, а у встановленні їх топологічних властивостей, а саме зв'язності, і результуючих форм. Форма кривої або поверхні, отримана шляхом інтерполяції Гауса, повинна певним чином відповідати передбачуваній поверхні або кривій, яка преставлена хмарою точок.

         Ключові слова: інтерполяція, многочлен Гауса, регулярні поверхні, хмара точок, математична оптимізація, геометричне моделювання, моделювання.