ВИЗНАЧЕННЯ МАСИ ПІВНЕСКІНЧЕННОЇ СТРУНИ

Анотація

Розглядається півнескінченна (сингулярна) струна з невідомим розподілом густини. Маса струни також вважається невідомою і, можливо, нескінченною величиною. Лівий кінець струни, який має можливість ковзати за відомим законом f(t) по напрямку, перпендикулярному до її рівноважного стану, породжує поширювальну хвилю. Взаємодія цієї хвилі з лівим кінцем за час 2Т формує реакцію R(f), яка вимірюється.

Як відомо, інформації f  R(f) (вхід – вихід) достатньо, щоб розв’язати обернену задачу: знайти густину струни в кожній точці інтервалу (0; x(T)), захопленому хвилями до моменту часу T.

Одним із ефективних методів розв’язання цієї задачі є ВС-метод (Boundary Control method, М. Бєлішев, 1986) – підхід до обернених задач, грунтовний на їх зв'язку з теорією межевого керування. В ВС-методі використовуються хвилі, які поширюються вглиб, розсіюються на неоднорідностях струни та приносять інформацію на межу.

ВС-метод дозволяє по відомій реакції на межі знаходити параметри струни оптимальним за часом чином: глибина відновлення пропорційна часу спостереження на межі. Ця властивість найбільш актуальна в геофізичних дослідженнях оскільки саме вона дозволяє відновлювати параметри середовища в реальному часі. Припустимо, що зовнішній спостерігач має можливість проводити вимірювання тільки на межі (лівому кінці) струни. Виникає питання: яку інформацію про якісний характер спектра струни він може отримати з цих вимірювань?

Як відомо, скінченність повної маси струни є необхідною умовою дискретності ії спектра [2], [3]. Отже, скінченність або нескінченність маси струни є важливою інформацією для якісного аналізу спектра струни.

В роботі в термінах даних оберненої задачі на півосі (за відомими операторами реакції  R(f) для всіх T) отримана формула повної маси неоднорідної струни з невідомим розподілом густини. Отримана формула надає можливість ефективної перевірки необхідної умови дискретності спектра сингулярної струни.

Ключові слова: гіперболічні рівняння, сингулярна крайова задача, обернена задача, півнескінченна струна, метод межевого керування, оператор реакції.