СПРОЩЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ЗНАЧЕНЬ ТРАДИЦІЙНИХ ПЕРШИХ ПОХІДНИХ СЕГМЕНТІВ ТОЧКОВИХ ПОЛІНОМІВ У ЇХНІХ ПОЧАТКОВИХ ТОЧКАХ

Анотація

У задачах геометричного моделювання плоских кривих важливою є можливість ефективного обчислення похідних, зокрема – першої похідної у початковій точці сегменту. Це зумовлює потребу у створенні формул для обчислення традиційної (Ньютона–Лейбніца) першої похідної А₁ сегменту плоского точкового поліному за значення параметру t₁ = 0. У розгорнутому вигляді подано точкові поліноми другого, третього, четвертого та п’ятого степенів, а також відповідні до них вирази для обчислення похідної у початковій точці. Наприклад, для полінома другого степеня похідна обчислюється як подвоєна різниця між другою і першою точками, для третього – через комбінацію векторів, що враховує усі три точки тощо. З підвищенням степеня полінома складність аналітичного виразу значно зростає, що ускладнює виведення загальної формули для довільного n. Підкреслюється, що наявність розроблених авторами формул знаходження значень традиційних перших похідних зменшує ресурсовитратність знаходження центрів проєктування під час обчислення значень дифпроєкцій для утворення смуги дифпроєкцій.

Враховуючи ці труднощі, створення попередньо визначених аналітичних виразів для обчислення похідних стає практично необхідним для забезпечення швидкості й точності обчислень. У контексті побудови смуги дифпроєкцій така оптимізація особливо важлива, оскільки саме в цих ділянках здійснюється визначення напрямків та центрів проєктування, що потребує численних похідних. Отримані традиційні похідні використовуються як вхідні величини для подальшого конструювання композиційних похідних.

Композиційні похідні мають ряд переваг, головна з яких – побудова на основі інваріантів паралельного проєктування. Це забезпечує сталість характеристик геометричних об’єктів незалежно від їхнього розташування у просторі, що особливо цінно при трансформаціях і уніфікованому аналізі моделей. У результаті, застосування композиційних похідних не тільки підвищує точність, а й знижує ресурсоємність створення відповідних програмних продуктів.

Ключові слова: точковий поліном, композиційна похідна, традиційна похідна, традиційна похідна, смуга дифпроєкцій, формули значень похідної у початковій точці.