КОМПОЗИЦІЙНА ГЕОМЕТРІЯ ЯК МАТЕМАТИЧНИЙ МЕТОД НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ

Анотація

Порівнюється традиційне (Ньютона-Лейбніца) диференціювання з композиційним диференціюванням, яке є просто іншим, геометрично досконалим, підходом щодо визначення зміни одних величин в залежності від інших. Наголошується, що обчислювальний результат і за традиційним (алгебраїчним), і за композиційним (геометричним) диференціюванням є одинаковим для одних і тих самих вихідних даних.

Показано, що і мова програмування Python і композиційна геометрія передбачають роздрібнення будь-якої складної задачі на низку дрібних задач меншої складності.

Мовою програмування Python передбачено здійснення операцій з алгебраїчними матрицями, утворення точкових поліномів відбувається за використання композиційних матриць, які призначені для формалізації геометричних алгоритмів. При цьому, вказується, що ресурсовитратність операцій над алгебраїчними матрицями є значно більшою у порівнянні з операціями над композиційними матрицями, застосування яких у Python буде ефективнішим.

Показано, що можливості об'єднувальних операцій у Python збігаються з розробленими методами об'єднань у композиційній геометрії. Існуючі записи точкових поліномів у загальних виглядах дозволяють створювати багатошарові нейронні мережі як класи і як об'єкти у цих класах. Через це методи композиційної геометрії ефективніше передаватимуть прямий розподіл сигналів і зворотній розподіл похибок нейронною мережею. Це, у свою чергу, зменшить ресурсовитратність і пришвидчить процес машинного навчання штучного інтелекту.

Робиться висновок, що функціонування нейронних мереж забезпечуються існуючими математичними методами, які існують взагалі і не є підлаштованими для здійснення операції у них. І навпаки, можливості аналітичної формалізації композиційної геометрії чи не найкращим чином відповідають операціям у нейронних мережах.

Методом оптимізації у нейронних мережах є метод градієнтного спуску. Вказується на необхідність і можливості розробки власного композиційного методу градієнтного спуску. Якщо існуючий в математиці метод градієнтного спуску ґрунтується на знаходженні дотичної прямої лінії до поверхні похибок, то композиційний метод градієнтного спуску буде будувати відразу дотичну площину у кожній точці поверхні похибок вагових коефіцієнтів. Це у рази зменшить ресурсовитратність, а відтак у рази пришвидшить і машинне навчання штучного інтелекту. Як результат, зменшиться час на прийняття рішень штучним інтелектом у процесі роботи. Таке стає можливим через те, що традиційні (Ньютона-Лейбніца) похідні здобуваються за використання алгебраїчних методів диференціювання, утворення ж композиційних похідних забезпечується геометричними (композиційними) методами диференціювання.

Ключові слова: нейронні мережі, штучний інтелект, композиційна похідна, композиційна геометрія, композиційний метод градієнтного спуску.