ПОРІВНЯННЯ КОМПОЗИЦІЙНИХ ТА ТРАДИЦІЙНИХ ПЕРШИХ ПОХІДНИХ ТОЧКОВИХ ПОЛІНОМІВ У ПРОЦЕСІ ЗАГУЩЕННЯ ЇХНІХ ВИХІДНИХ ПЛОСКИХ ДИСКРЕТНИХ КРИВИХ ЛІНІЙ

Анотація

Розглядається сегмент дискретної плоскої кривої лінії, який складається із чотирьох базисних точок. За використання декартових координат цих базисних точок складається, у параметричній формі, відповідний точковий поліном, для якого, за методами диференціювання Ньютона-Лейбніца, утворюється традиційна перша похідна і обчислюються її значення у декількох поточних точках.

Надається пояснення відмінності між традиційною і композиційною першими похідними, які полягають у тому, що традиційна утворюється шляхом диференціювання характеристичних функцій, а у композиційної похідної характеристичні функції точкового поліному лишаються без змін, замінюються його базисні точки на значення похідних у цих базисних точках. За одних і тих же значень параметру обчислюються значення традиційної і композиційної похідних то здійснюється їх порівняння, яке показало, що в усіх поточних точках ці значення перших похідних відрізняються на величину обчислювальної похибки, а у базисних точках дорівнюють одне одному.

Далі здійснюється перший крок загущення, виконується, відповідно до цього кроку, параметризація базисних точок і точок загущення. За результатами параметризації утворюється точковий поліном для першого кроку загущення. Шляхом диференціювання якого знаходимо рівняння його традиційної першої похідної і обчислюються її значення у базисних і поточних точках. Знайдені значення традиційної першої похідної підставляються у точкове рівняння композиційної першої похідної та обчислюються її значення у тих же поточних точках. Порівнюються значення традиційної і композиційної похідних, які також відрізняються між собою на величину обчислювальної похибки, тобто дорівнюють одне одному. Аналогічні дії здійснюються і для другого кроку загущення і здобувається той самий результат, що значення композиційної і традиційної похідних в одних і тих самих поточних точках дорівнюють одне одному, якщо у точкове рівняння композиційної першої похідної підставити, замість базисних точок, значення традиційної першої похідної.

В результаті проведених досліджень дійшли висновку, що композиційна похідна є більш узагальненою по відношенню до традиційної похідної Ньютона-Лейбніца. Крім того, за використання смуги дифпроєкцій, шляхом загущення плоскої вихідної дискретної кривої лінії, композиційна похідна наближається до традиційної похідної та збігається з нею, коли дифпроєкції композиційної похідної у базисних точках збігаються зі значеннями традиційної першої похідної.

Ключові слова: точковий поліном, композиційна похідна, традиційна похідна, смуга дифпроєкцій, загущення дискретної кривої.