ЗГИНАННЯ ПОВЕРХНІ ОБЕРТАННЯ У ГВИНТОВИЙ КОНОЇД

Анотація

У статті досліджено процес згинання поверхні обертання (катеноїда) у гвинтовий коноїд, що є важливим для інженерної практики, особливо при виготовленні шнеків. Гвинтовий коноїд, також відомий як прямий закритий гелікоїд, утворюється гвинтовим рухом відрізка навколо осі, причому цей відрізок під час руху перетинає вісь під прямим кутом. Така поверхня не може бути зігнута на площину, однак поступовим зменшенням кроку можна перетворити у відому поверхню обертання – катеноїд. При такій деформації не змінюються довжини ліній і площа витка в цілому, тобто деформація відбувається подібно до розгортних поверхонь. Така деформація базується на теорії згинань поверхонь. Згідно із нею всяку гвинтову поверхню можна зігнути на поверхню обертання і навпаки. Згинання нерозгортної поверхні гвинтового коноїда на катеноїд є класичним прикладом диференціальної геометрії.

Згідно диференціальної геометрії, будь-яку поверхню обертання можна зігнути у гвинтову. Поверхня відноситься до двох сімей координатних ліній, і точка на поверхні задається значеннями двох криволінійних координат. Якщо меридіан поверхні обертання заданий явним рівнянням, то вона опишеться параметричними рівняннями. Такий підхід дає можливість знайти наближену плоску заготовку для виготовлення витка шнека.

Запропоновано апроксимувати отриманий катеноїд зрізаним конусом. Розгортка зрізаного конуса і буде наближеною розгорткою витка шнека. В цьому полягають особливості знаходження наближеної розгортки, яка в інженерній практиці розраховується за іншими формулами. В статті отримано параметричні рівняння, які описують однопараметричну множину проміжних поверхонь при згинанні гвинтового коноїда завдяки поступовому зменшенню кроку поверхні до нуля.

Ключові слова: крок поверхні, катеноїд, зрізаний конус, апроксимація, наближена розгортка.