ГЕОМЕТРИЧНИЙ МЕТОД ПОБУДОВИ БАЗИСУ ДИСКРЕТНОГО ЕЛЕМЕНТА Н32

Анотація

У роботі розглядаються серендипові скінченні елементи (ССЕ), які виникли наприкінці 60-х років минулого сторіччя як винахідлива модифікація лагранжевих дво- і тривимірних елементів шляхом вилучення внутрішніх вузлів інтерполяції. Наведені в літературі базисні функції серендипових СЕ називають стандартними. Ці функції добре справляються з задачею ізопараметричного відображення квадрата у довільний чотирикутник, однак інтерполяційні якості стандартних базисів не завжди бездоганні. Всі стандартні базиси серендипових скінченних елементів, крім білінійного, мають недоліки.  Побудову базисних функцій ССЕ, крім традиційних методів матричного аналізу, можна здійснити за допомогою процедури Тейлора. На жаль, створені обома способами поліноми вищих порядків мають певні недоліки: надмірну кількість кратних нулів у вузлах інтерполяції (жорстка модель) та від’ємні значення у розподілі рівномірної масової сили по вузлах (неприродний розподіл). Актуальною проблемою серендипової інтерполяції є розробка методів конструювання альтернативних базисів вищих порядків, позбавлених цих недоліків. Існування таких базисів було доведено на початку 80-х років ХХ сторіччя. Специфіка серендипових моделей змушує відмовитись від процедури Тейлора, що спирається на традиції одновимірної інтерполяції за Лагранжем. Лише на елементах першого і другого порядків результати обох підходів співпадають. Складні проблеми ССЕ вищих порядків краще розв’язувати методами прикладної геометрії. На прикладі тривимірного скінченного елемента (32 вузла) аналізуються недоліки інтерполяційної процедури Тейлора. Запропоновано геометричний спосіб усунення недоліків класичного базису. Переваги геометричного конструювання ССЕ безперечні – з’являється можливість створення альтернативних базисів, позбавлених недоліків стандартних базисів. Більше того,  вдале конструювання дозволяє оптимізувати базиси для отримання кращих інтерполяційних та обчислювальних якостей.

Ключові слова: серендипові скінченні елементи, інтерполяція, геометричне конструювання, процедури Тейлора, тривимірний скінченний елемент, альтернативний базис вищих порядків.