КОНСТРУЮВАННЯ КРИВИХ ЛІНІЙ І ПОВЕРХОНЬ З ДОПОМОГОЮ ТРИГРАННИКА ДАРБУ

Анотація

У диференціальній геометрії широко відомим є тригранник Френе, який є супровідним для просторової і як частковий випадок, для плоскої кривої. Три його взаємно перпендикулярні одиничні орти визначаються однозначно для будь-якої точки кривої за винятком деяких особливих. Наприклад, для точки перегину плоскої кривої або для точки випрямлення просторової кривої напрям головної нормалі стає невизначеним. Тригранник Дарбу стосується поверхні. Два його одиничні орти розташовані в дотичній до поверхні площині, а третій спрямований по нормалі до поверхні. Він теж може бути супровідним для кривої, яка розташована на поверхні. Для цього один із ортів у дотичній до поверхні площині має бути дотичним до кривої. Тоді ці два тригранники мають спільний орт дотичної до кривої, а між іншими двома ортами існує певний кут. Однак напрям орта, який спрямований по нормалі до поверхні, можна вибрати в одну або протилежну сторону. Таким чином, на відміну від тригранника Френе, тригранник Дарбу в точці кривої на поверхні може мати два положення.

         Тригранники Френе і Дарбу є рухомими і по відношенню до нерухомої системи координат змінюють своє положення за рахунок переміщення і повороту. Для тригранника Френе напрямні косинуси його ортів визначаються через диференціальні характеристики кривої, до яких задіяні перші і другі похідні цієї кривої. У точці кривої з кривиною, рівною нулю, положення ортів головної нормалі і бінормалі стає невизначеним. Для тригранника Дарбу один із ортів спрямований по нормалі до поверхні, тобто його напрям визначається через диференціальні характеристики поверхні і для регулярної поверхні є визначеним. Орт дотичної теж є визначеним, отже і третій орт, перпендикулярний до перших двох, теж буде визначеним. При дослідженні геометричних характеристик кривих та поверхонь з допомогою супровідних тригранників необхідно мати формули переходу від положення елементів цих об’єктів в системі рухомого тригранника до положення в нерухомій декартовій системі координат. Для цього існує дев’ять напрямних косинусів – по три на кожен орт. Для тригранника Френе вони повністю визначаються через перші і другі похідні параметричних рівнянь напрямної кривої\.Для тригранника Дарбу – через параметричні рівняння поверхні. В статті наведено один із можливих способів їх знаходження.

Ключові слова: супровідний тригранник, напрямні косинуси, параметричні рівняння, нормаль до поверхні, векторний добуток.