ЗАСТОСУВАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ П.Л. ЧЕБИШОВА В МЕТОДІ ТОЧКОВИХ ДЖЕРЕЛ

Abstract

У роботі досліджується вплив взаємного розташування контуру розміщення точок колокації та контуру розміщення точкових джерел у методі точкових джерел (у методі фундаментальних розв’язків за термінологією, яка прийнята в іноземній літературі). На практичних прикладах показано доцільність розміщення вказаних точок у вузлах, що є коренями поліномів П.Л. Чебишова першого роду, коли обидва контури є багатофокусними лемніскатами зі співпадаючими фокусами. За відрізок, на якому знаходяться корені поліномів
П.Л. Чебишова обирається відрізок, що рівний довжині повторюваного сегмента лемніскати з урахуванням її симетрій. Повні набори точок формуються з урахуванням вказаних симетрій. Використання багатофокусних лемніскат в якості тестових кривих обумовлено теоремою Д. Гільберта про можливість наближення з заданою точністю однозв’язного замкнутого контуру багатофокусною лемніскатою. Показано, що обумовленість основної матриці методу точкових джерел у граничних задачах Діріхле для рівняння Лапласа значно покращується, коли співфокусні лемніскати мало віддалені одна від одної. При зростанні середньої відстані між ними переваги вказаного розміщення точок зникають. Порівняння проводиться з числами обумовленості систем, які отримують у випадку рівномірного (відносно полярного кута) розміщення точок колокації і точкових джерел на багатофокусних лемніскатах та колах відповідно. Таке розміщення точок є найбільш поширеним у сучасній обчислювальній практиці застосування методу точкових джерел. Проте рекомендоване при цьому застосування методу регуляризації за А.М. Тихоновим у граничних задачах із складною геометрією області не завжди приводить до очікуваних результатів. Тому пошуки доцільних способів розміщень точок колокації та точкових джерел в однойменному методі продовжують бути актуальною задачею для дослідників. Перспективним напрямком продовження досліджень є вивчення впливу запропонованого розміщення вказаних точок на рівновіддалених контурах, які не мають самоперетинів.