ИЗГИБАНИЕ ОДНОПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА ВРАЩЕНИЯ ИЗМЕНЕНИЕМ РАДИУСА ГОРЛОВОЙ ЛИНИИ

Аннотация

Сгибание поверхностей является одним из важных разделов дифференциальной геометрии. В нем рассматривается сгибание как развертывающихся поверхностей, так и неразвертывающихся. Для развертывающихся поверхностей (торсов) практическая сторона задачи заключается в нахождении развертки заданного отсека поверхности. Прикладное значение такой задачи очевидно, поскольку позволяет находить очертание плоской заготовки для дальнейшего сгибания ее в готовое изделие. Для неразвертывающихся поверхностей не существует понятия развертки, однако математическое описание промежуточных положений поверхности при ее сгибании происходит как и для развертывающейся. В основе этого описания используются общие подходы, суть которых заключается в неизменности длин линий и углов между ними на поверхности при ее сгибании. Это обеспечивается неизменной первой квадратичной формой поверхности при ее сгибании.

В статье рассмотрено сгибание однополостного гиперболоида вращения в другую поверхность вращения. Составлены уравнения однопараметрического множества промежуточных положений поверхности  при ее сгибании. В них входит постоянная величина, так называемый параметр сгибания. Конкретному параметру сгибания соответствует определенная поверхность с однопараметрического множества. Этот параметр не входит в выражение первой квадратичной формы, которая для множества всех поверхностей остается общей. Это свидетельствует о достоверности полученных уравнений, описывающих сгибание поверхности.

         При сгибании однополостного гиперболоида вращения меридиан поверхности, которым является гипербола, трансформируется в другую плоскую кривую. Прямолинейная образующая исходной поверхности трансформируется в пространственную кривую на согнутой поверхности. В статье рассмотрена возможность качения изогнутой поверхности по исходной. Для этого обе поверхности нужно расположить таким образом, чтобы прямолинейная образующая исходной поверхности соприкасалась в соответствующей точке с линией, трансформированной в кривую на согнутой поверхности, и чтобы касательная в точке соприкосновения кривой совпадала с прямолинейной образующей. Качения поверхностей одна по другой происходит при точечном контакте. При качении изогнутой поверхности по неподвижной исходной (или наоборот) точка контакта будет двигаться по этим линиям, проходя одинаковый путь по прямой и кривой линиям.

         Ключевые слова: однополостный гиперболоид вращения, сгибание, трансформация прямолинейной образующей, качения поверхностей, первая квадратичная форма.