АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИЙ С НЕИЗВЕСТНЫМИ НЕПРЕРЫВНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ С ПОМОЩЬЮ КУБИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ

Аннотация

Разработана методика определения погрешности s_k^(d) интерполирования функции кубическим сплайном в случае неизвестной четвёртой производной. Показано, что значение s_k^(d) на k-м интервале равно h|d_k|/6, где h – величина интервала, d_k – коэффициенты многочленов сплайна при переменной в третьей степени. Алгоритм вычисления коэффициентов сплайна предполагает выполнение следующих условий: восстанавливаемая функция является непрерывной и обладает непрерывными первой и второй производными; на границах восстанавливаемой функции заданы первые производные; вторая производная на правой границе равна нулю. В случае неизвестных первых производных на границах предусмотрена возможность их расчёта с использованием значений функции в узловых точках. Тестирование предлагаемого метода проводилось на монотонных функциях sin(πх/2), (1-exp(-x))/(1-exp(-1)), log(1+х)/log(2)log(1+х)/log(2), (2x+x²+x³+x⁴)/5, не имеющих перегибов и экстремальных точек на отрезке [0,1]. Среднеквадратическое отклонение значений восстановленной функции sin(πх/2) от значений сплайна из трёх многочленов, равное s=0.92·10^-2, хорошо согласуется с погрешностью, рассчитанной с предлагаемым методом и равной s_k^(d)=1.3·10^-2. Повышение количества узлов до 10³ и более обеспечивает точность интерполяции до 10^-7 и выше. Во всех случаях величина s_k^(d) хорошо согласуется с точным значением s. Аналогичная ситуация наблюдается для многих монотонно убывающих или возрастающих функций, не имеющих перегибов и экстремальных точек. При восстановлении любых функциональных зависимостей рекомендуется разбивать исследуемый отрезок на такие интервалы, где функции не имеют перегибов и экстремальных точек.

Ключевые слова: восстановление функции, интерполяционный полином, интерполяция, кубический сплайн, погрешность интерполирования, функция.