НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ МОДИФИКАЦИИ ЛЕМНИСКАТЫ БЕРНУЛЛИ

Аннотация

Статья посвящена исследованию модифицированных лемнискат. Модифицируется уравнение лемнискаты, записанное в полярной системе координат. Целью модификации является обеспечение необходимых углов наклона касательных в начальной и конечной точках половины лепестка лемнискаты, расположенной в области положительных значений абсцисс и ординат ортогональной системы координат. Обычная лемниската имеет в начале этой системы координат угол наклона касательной, равный 45°. В точке пересечения лепестка лемнискаты с осью абсцисс ортогональных координат касательная к ней располагается перпендикулярно к этой оси. Для модификации лемнискаты в ее полярное уравнение вводятся два параметра, один из которых является степенью корня, а второй – некоторым рациональным положительным или отрицательным числом, но таким, который не приводит к отрицательному значению косинуса, находящегося под знаком корня. Нужное значение угла наклона касательной в начале ортогональной системы координат достигается соответствующим выбором значения коэффициента, стоящего при полярном угле косинус-функции уравнения лемнискаты. Изменение угла наклона касательной в начальной точке лепестка лемнискаты реализуется введением под знак корня дополнительной компоненты, являющейся тригонометрической функцией нужного угла наклона касательной. Разработан метод проведения дуги модифицированной лемнискаты через некоторую точку, заданную в плоскости расположения лемнискаты с произвольными углами наклона касательных в начальной и конечной точках моделируемой дуги модифицированной лемнискаты. Предложенный метод модификации лемнискаты реализован в виде компьютерного кода, позволяющего, кроме числовых результатов, получать графические изображения моделируемых кривых на экране монитора компьютера. Метод может быть применен при построении профилей лопаток турбин и переходных кривых железнодорожных путей, а также в других практических приложениях, где требуется построение плавной кривой при условии, что заданные углы наклона касательных и некоторая промежуточная точка, через которую должен пройти моделируемая линия.

Ключевые слова: лемниската, модификация, касательная, кривизна.