ДЕЯКІ АСПЕКТИ МОДИФІКАЦІЇ ЛЕМНІСКАТИ БЕРНУЛЛІ

Анотація

Стаття присвячена дослідженню модифікованих лемніскат Бернуллі. Модифікується рівняння лемніскати, записане в полярній системі координат. Метою модифікації є забезпечення необхідних кутів нахилу дотичних в початковій та кінцевій точках напівпелюстки лемніскати, розташованій в області додатних значень абсцис і ординат ортогональної системи координат. Звичайна лемніската має на початку цієї системи координат кут нахилу дотичної, рівний 45°. У точці перетину пелюстки лемніскати з віссю абсцис ортогональних координат дотична до неї розташовується перпендикулярно до цієї осі. Для модифікації лемніскати в її полярне рівняння вводяться два параметри, один з яких є степенем кореня, а другий є деяким раціональним додатним або від’ємним числом, але таким, що не призводить до від’ємного значення косинуса, що знаходиться під знаком кореня. Потрібне значення кута нахилу дотичної на початку ортогональної системи координат досягається відповідним вибором значення коефіцієнта, який стоїть при полярному куті косинус-функції полярного рівняння лемніскати. Зміна кута нахилу дотичної в початковій точці пелюстки лемніскати реалізується введенням під знак кореню додаткової компоненти, яка є тригонометричною функцією потрібного кута нахилу дотичної. Розроблено метод проведення дуги модифікованої лемніскати через деяку точку, задану в площині розташування лемніскати з довільними кутами нахилу дотичних в початковій та кінцевій точках модельованої дуги модифікованої лемніскати. Запропонований метод модифікації лемніскати реалізовано у вигляді комп’ютерного коду, який дозволяє, окрім числових результатів, отримувати графічні зображення модельованих кривих на екрані монітора комп’ютера. Він може бути застосований при побудові профілів лопаток турбін і перехідних кривих залізничних колій, а також в інших практичних застосуваннях, де потрібна побудова плавної кривої за умови, що задані кути нахилу дотичних та деяка проміжна точка, через яку має пройти модельована лінія.

Ключові слова: лемніската Бернуллі, модифікація, дотична, кривина.