ДЕЯКІ КРИВІ У ПОЛЯРНІЙ СИСТЕМІ КООРДИНАТ, ОПИСАНІ У ФУНКЦІЇ НАТУРАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА

Анотація

Аналітичний опис кривих у функції довжини їх дуги, тобто у функції натурального параметра, має принципове значення. Довжина дуги є внутрішньою характеристикою кривої разом із її натуральним рівнянням, яке описує залежність кривини від її довжини. Натуральне рівняння повністю задає плоску криву незалежно від її розміщення в системі координат. Для просторових кривих для їх визначення додатково необхідно мати залежність скруту від довжини дуги. Якщо одна залежність для плоскої кривої або дві для просторової задані, це ще не означає можливість побудови самої кривої. Це викликано розв’язуванням диференціальних рівнянь, які, як правило, потребують чисельних методів інтегрування. Але якщо є параметричні рівняння з незалежною змінною – довжиною дуги, то залежності кривини і скруту завжди можна знайти. Опис кривої у функції натурального параметра зручно використовувати у механіці, теорії руху частинок, робототехніці та застосуванні фундаментальних формул Френе у диференціальній геометрії.

Окремий клас кривих – криві, описані в полярній системі координат. Як правило, в ній описуються різні спіралі. Однак багато із них не можна описати через натуральний параметр. До них відносяться спіралі Архімеда, Галілея, Ферма та інші. В статті проведено дослідження спіралей і інших кривих, які описуються в полярній системі координат і при цьому їх незалежною змінною є натуральний параметр. При традиційному описі кривих у полярній системі незалежною змінною є полярний кут. В даному дослідженні полярний кут, як і радіус-вектор, є функціями довжини дуги кривої. Для знаходження однієї функції іншу потрібно задати. Це призводить до розв’язування диференціального рівняння або часткового випадку – інтегрування відповідного виразу.

Показано, що у логарифмічної спіралі величина радіус-вектора прямо пропорціональна довжині її дуги, а також знайдено спіраль із обернено пропорціональною залежністю.

Ключові слова: спіралі, радіус-вектор, полярний кут, натуральний параметр, диференціальне рівняння.