НЕРУХОМИЙ І РУХОМИЙ АКСОЇДИ СУПРОВІДНОГО ТРИГРАННИКА ФРЕНЕ ПЛОСКОЇ НАПРЯМНОЇ КРИВОЇ

Abstract

Рух супровідного тригранника Френе по напрямній кривій можна розглядати, як рух твердого тіла, закономірність якого визначено диференціальними характеристиками кривої. Оскільки тригранник рухається вздовж кривої, то його переміщення можна розглядати, як суму двох складових рухів: поступального вздовж орта дотичної і обертального навколо миттєвої осі обертання. Ці два рухи можна звести до гвинтового руху навколо миттєвої осі обертання і ковзання. Однопараметрична множина таких осей по відношенню до нерухомої системи координат утворює нерухомий аксоїд, а по відношенню до системи рухомого тригранника – рухомий.

В статті розглянуто побудову рухомого і нерухомого аксоїдів для випадку, коли напрямною лінією тригранника є плоска крива. В такому випадку ковзання відсутнє. Миттєва вісь обертання тригранника паралельна орту бінормалі і перетинає орт головної нормалі на певній відстані від бінормалі. Ця відстань чисельно рівна радіусу кривини кривої в поточній точці розташування тригранника.  При русі тригранника по кривій із змінною кривиною миттєва вісь обертання рухається вздовж орта головної нормалі, залишаючись паралельною орту бінормалі. Множина положень осі миттєвого обертання в системі тригранника утворює рухомий аксоїд, яким є площина. Нерухомим аксоїдом є циліндр, поперечним перерізом якого є еволюта плоскої напрямної кривої. Показано, що рухомий аксоїд є розгорткою нерухомого. Нерухомий аксоїд є полярним торсом напрямної кривої. Сформульовано відповідне твердження.

Розглянуто конкретні приклади, коли за вихідну напрямну криву взято евольвенту кола і коло. Для кола кривина є стала, отже вісь миттєвого обертання в триграннику не рухається. Рухомий аксоїд вироджується в пряму лінію. Полярний торс для кола теж вироджується в пряму лінію, яка проходить через його центр. Перекочуванням рухомого аксоїда по нерухомому можна відтворити напрямну криву. Для кола це буде обертання прямої лінії (рухомого аксоїда) навколо іншої прямої (нерухомого аксоїда). Відстань між ними дорівнює радіусу кривини, тобто радіусу кола. Точка на рухомому аксоїді при його обертанні навколо нерухомого опише коло.