АЛГОРИТМИЧЕСКО-ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КУБИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ ПРИ ВОССТАНОВЛЕНИИ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ В СЛУЧАЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ ПЕРВЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Аннотация

Работа посвящена созданию кубического сплайна S(x), который обеспечивает восстановление функциональной зависимости Y(x) при задании условий для первой производной функции на границах её определения. Предполагается, что функция Y(x) непрерывна, обладает непрерывными первой и второй производными на отрезке [a,b], а в узловых точках x₀=a, x₁, x₂,...,x_n=b принимает известные значения, равные, соответственно, y₀, y₁, y₂,... y_n, k=0, 1, 2,…,n.  Сплайн представляется в виде n многочленов не выше третьего порядка. Задача сводится к нахождению 4n неизвестных коэффициентов сплайна. Для их определения сформирована система из 4n-2 уравнений: 2n уравнений, учитывающих значения функции в узловых точках, n-1 уравнений, отражающих непрерывность первой производной и n-1 уравнений, отражающих непрерывность второй производной на границах соседних многочленов, а также два условия, относящиеся к значениям первой производной на границах функции. Решение задачи методом прогонки позволило разработать алгоритмическо-программное обеспечение для построения соответствующего кубического сплайна S(x) в случае непрерывной функции Y(x) с непрерывными первой и второй производными на отрезке [a,b] с заданными значениями первой производной на его границах. Предложена схема для реализации решения на алгоритмическом языке. Разработана программа Scype в оболочке Microsoft Visual Studio с использованием языка С++. Величина ошибки восстановления функции с использованием предложенной схемы изучалась на примере функции Y(x)=sin(x). Результаты тестирования показали, что относительная точность интерполирования при количестве узловых точек n=10 на отрезке [0,π/2] составляла в среднем около 1.4·10^-3. Максимальная точность обнаружена на первом интервале: (0.4-0.9)10^-3. Минимальная точность зафиксирована в начале второго и последнего десятого интервала: (4-6)10^-2. Увеличение числа узлов до 10², 10³ и 10⁴ приводило к повышению средней относительной точности до 1·10^-5, 1·10^-7 и 2·10^-9, соответственно. Полученные данные могут быть использованы для интерполирования функций и обработки экспериментальных данных.

Ключевые слова: алгоритм восстановления функции, интерполяционный полином, интерполяция, кубический сплайн.