ГЕОМЕТРИЧНИЙ СПОСІБ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ ТОЧКОВОГО ПОЛІНОМУ У ПАРАМЕТРИЧНІЙ ФОРМІ

Анотація

Геометричний спосіб інтерполяції забезпечує глобальною інтерполяцією дискретно поданих ліній (ДПЛ) і, при цьому, не використовуються системи алгебраїчних рівнянь для знаходження коефіцієнтів інтерполянта і, навіть, взагалі інтерполяційні коефіцієнти не потрібно знаходити, тому що точковий поліном цього не передбачає.

Точковий поліном – це ціла раціональна функція, що складається із суми добутків, першим множником кожного з доданків якої є точка вихідної ДПЛ, а другим – алгебраїчні множники у параметричний формі, що являють собою цілі раціональні вирази, які подаються у вигляді добутку різниць між параметрами відповідних вузлових точок і поточними параметром-аргументом t.

Параметризація вихідної ДПЛ може бути застосована уздовж координатної осі, або уздовж довільної прямої, або уздовж довжин ланок, що з'єднують поспіль усі точки вихідної ДПЛ.

Композиційна матриця параметрична, елементами якої є алгебраїчні множники, що входять до складу доданків точкового полінома, являє собою параметричну складову уніфікованої геометричної фігури вихідної ДПЛ, забезпечує глобальну геометричну інтерполяцію, оминаючи при цьому знаходження коефіцієнтів, складання і розв'язання системи лінійних рівнянь.

Уніфікація вихідної геометричної фігури передбачає поділення її на геометричну та параметричну складові. Геометрична складова описується за допомогою композиційної матриці точкової, а параметрична складова – за допомоги композиційної матриці параметричної.

Складові точкового поліному – доданки, які являють собою добутки відповідних елементів композиційних матриць точкової та параметричної. Геометричну складову представляють безпосередньо точки вихідної ДПЛ, а параметричну – цілі раціональні вирази у вигляді добутку різниць параметрів у вузлових точках вихідної ДПЛ та поточним параметром.

Точковий інтерполяційний поліном за способом побудови елементів та геометричним сенсом функціонування є схожим на інтерполяційний поліном за формою Лагранжа. Однак, є набагато потужнішим за нього через те, що за допомогою точкового полінома розв'язки відбуваються у координатному просторі в цілому, а не окремо на кожній з координатних площин. Окрім цього, одержаний розв'язок у просторі можна перенести на будь-яку з координатних площин або, навіть, на підпростори.

Ще однією перевагою точкового полінома є те, що його запис не потрібно змінювати у разі наявності кратних точок (таких що співпадають) на вихідній ДПЛ. Дво-, три-, n-кратні точки виникають на сітках об'ємних об'єктів довільної форми.

Ключові слова: точковий поліном, композиційна матриця, уніфікація геометричної фігури, кратні точки.