МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПЕРІОДИЧНИХ ПРОЦЕСІВ ЗА ДОПОМОГОЮ РЯДІВ ФУР’Є

Анотація

Стаття присвячена математичному моделюванню періодичних процесів за допомогою рядів Фур’є. Предметом дослідження в даній роботі став аналіз різного роду періодичних, циклічних, коливальних процесів (коливання курсу валют, прогнозування індексу промислової продукції, попит на ювелірні вироби в залежності від сезону, коливання виробничої діяльності, перевезення пасажирським транспортом, попит на продукцію та послуги та інше).

Які ж вимоги ставляться до функцій, що підвергаються розкладу в ряді Фур’є? Як перевірити ці функції на збіжність? Які види збіжності рядів Фур’є існують? Аналіз літературних джерел показав, що буває збіжність ряду Фур’є в точці, рівномірна збіжність, і збіжність ряду Фур’є в просторі . Для цих рядів не існує необхідної умови збіжності, але існують достатні умови: ознака Діріхле та ознака Діні, яких цілком достатньо для проведення розкладу в ряді Фур’є.

Для наочності розкладання функцій в ряди Фур’є наводяться приклади. За ціль ставилось показати збіжність ряду до вибраної функції. Спочатку перевіряються умови Діріхле, а потім здійснюється пошук коефіцієнтів рядів Фур’є. При цьому враховуються як самі функції так і їх властивості (тригонометричні чи інші; парні, непарні). Кількість членів розкладу необмежена і її можна вибирати довільно. Ми брали  і , чого цілком достатньо для оцінки збіжності. Результати розрахунків показали, що зі зростанням  збіжність ряду зростає, тобто різниця між рядом Фур’є та функцією, що розкладається ряд зменшується, це видно з рисунків 1-4.

Зроблені висновки підтверджують цінність розглянутих питань. Корисним є математичне моделювання різних періодичних процесів за допомогою рядів Фур’є, що дозволяє зробити аналіз впливу змін на різні елементи процесів.

Ключові слова: Математичне моделювання періодичних процесів, ряди Фур’є, необхідна і достатня умови їх збіжності рядів Фур’є.