ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СПОСОБ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ТОЧЕЧНЫХ ПОЛИНОМОВ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Аннотация

Геометрический способ интерполяции обеспечивает глобальную интерполяцию дискретно представленных линий (ДПЛ) и, при этом, не используются системы алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов интерполянта, и нет необходимости находить интерполяционные коэффициенты, так как точечный поленом этого не предусматривает.

Точечный полином - это целая рациональная функция, состоит из суммы произведений, первым множителем каждого из слагаемых которой является точка исходной ДПЛ, а вторым - алгебраические множители в параметрический форме, которые представляют собой целые рациональные выражения и, при этом, представляются в виде произведения разницы между параметрами соответствующих узловых точек и текущими параметром аргументом t.

Параметризация исходной ДПЛ может быть применена вдоль координатной оси, либо вдоль произвольной прямой, или вдоль длины звеньев ломаной, соединяющих подряд все точки исходной ДПЛ.

Композиционная матрица параметрическая, элементами которой являются алгебраические множители, входящие в состав точечного полинома, представляет собой параметрического составляющую унифицированной геометрической фигуры исходной ДПЛ, обеспечивает глобальную геометрическую интерполяцию, минуя при этом нахождение коэффициентов, составление и решение системы линейных уравнений.

Унификация исходной геометрической фигуры предусматривает разделение ее на геометрическую и параметрическую составляющие. Геометрическая составляющая описывается с помощью композиционной матрицы точечной, а параметрическая составляющая - с помощью композиционной матрицы параметрической.

Составляющие точечного полинома - слагаемые, которые представляют собой произведения соответствующих элементов композиционных матриц точечной и параметрической. Геометрическую составляющую представляют непосредственно точки исходной ДПЛ, а параметрическую - целые рациональные выражения в виде произведения различных параметров в узловых точках исходной ДПЛ и текущим параметром.

Точечный интерполяционный полином, по способу построения элементов и геометрическим смыслом функционирования, походит на интерполяционный полином по форме Лагранжа. Однако, намного мощнее его из-за того, что с помощью точечного полинома решения происходят в координатном пространстве в целом, а не отдельно на каждой из координатных плоскостей. Кроме этого, полученное решение в пространстве можно перенести на любую из координатных плоскостей или даже на подпространства.

Еще одним преимуществом точечного полинома является то, что его запись не надо менять при наличии кратных точек (совпадающих) на исходной ДПЛ. Двух-, трех-, n-кратные точки возникают на сетках поверхностей объемных объектов произвольной формы.

Ключевые слова: точечный полином, композиционная матрица, унификация геометрической фигуры, кратные точки.