ПОСТРОЕНИЕ СЕМЬИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ ИЗОМЕТРИЧЕСКОЙ СЕТКИ

Аннотация

В статье раскрыто аналитическое описание формирования семей ортогональных плоских кривых линий в неявном виде на основе анализа параметрического уравнения плоской изометрической сетки, построенной отделением действительной и мнимой частей функции комплексной переменной. Такая постановка задач связана с тем, что плоские изометрические сетки, как две семьи ортогональных координатных линий с квадратными ячейками, используются в конформных отображения, например, при нанесении изображений на криволинейные поверхности с наименьшими искажениями. В то же время, семьи плоских параллельных линий широко применяют в геометрическом моделировании теплопереноса, электрических полей, течения жидкости и т. д. Между этими геометрическими образами есть определенная связь, объяснение которого показано на конкретных примерах. Аналитические выкладки вывода параметрического уравнения изометрической сетки являются достаточно трудоемкими, поэтому их выполнение осуществляется в среде символьной алгебры Maple. С этой целью было создано соответствующее программное обеспечение интерактивной модели вывода параметрических уравнений изометрических сеток для любой исходной функции комплексной переменной с последующим отделением действительной и мнимой ее частей. Было обнаружено, что значение абсцисс и ординат параметрического уравнения плоской изометрической сетки можно представить в виде явных уравнений поверхностей. Для целых степеней показательной функции комплексного переменного зависимости величин абсцисс и ординат будут представляться алгебраическими поверхностями в явном виде уравнений. Проекции сечений поверхностей абсцисс и ординат горизонтальными секущими плоскостями на горизонтальную плоскость формируют две семьи кривых линий, уравнения которых можно получить только в неявном виде. На примере квадратичной функции комплексного переменного доказано, что эти семьи линий является взаимно ортогональными. В зависимости от сложности функции комплексной переменной, полученные семьи плоских линий могут иметь различные формы. Показано практическое применение построения семьи линий для геометрического моделирования линий потока жидкости, которые обтекают препятствие в виде полукруга.

Ключевые слова: изометрические сетки, функции комплексной переменной, семьи ортогональных линий, геометрическое моделирование.